Beweisen Sie: ∀a ∈ K : 0 · a = 0 .

Question

Aufgabe:

Sei (K, +, ·) ein Körper und 0 das neutrale Element bezüglich der Addition +. Beweisen Sie:

∀a ∈ K : 0 · a = 0

Problem/Ansatz:

Ich habe hier leider keinen Ansatz. Vielleicht kann mir wer weiterhelfen?

Answer 1

Aloha :)

1)\(\quad0\cdot x+0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x\) [Distributivgesetz]

2)\(\quad0\cdot x+0=0\cdot x\) [Neutrales Element]

Aus der Eindeutigkeit der Lösung der Gleichung \(0\cdot x+z=0\cdot x\) folgt \(0\cdot x=0\).

Comments

Wieso muss ich hier das "Distributivgesetz" und das "Neutrale Element" zeigen? Versteh ich nicht ganz

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Das hat Tschaka nicht gezeigt. Er hat das Distributivgesetz und das neutrale Element verwendet, um zu zeigen, dass 0 mal x gleich 0 ist.

Die Gültigkeit von Distributivgesetz und neutralem Element kann man voraussetzen, weil wir einen Körper betrachten.

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Was mir auch nicht klar ist wieso

Aus der Eindeutigkeit der Lösung der Gleichung 0⋅x+z=0⋅x müsste das nicht 0*x+z = z bzw. 0 + z sein?

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Aloha :)

Wir haben aus dem Distributivgesetz:$$0\cdot x+\underbrace{0\cdot x}_{z_1}=0\cdot x$$und aus der Existenz des neutralen Elementes:$$0\cdot x+\underbrace{0}_{z_2}=0\cdot x$$Aus der Eindeutigkeit der Lösung einer Gleichung folgt schließlich \(z_1=z_2\) bzw. \(0\cdot x=0\).

Answer 2

\(\begin{aligned} &  & 0\cdot a & =0\cdot a\\ & {\implies} & (0+0)\cdot a & =0\cdot a\\ & {\implies} & \left(0\cdot a\right)+\left(0\cdot a\right) & =0\cdot a\\ & {\implies} & \left(\left(0\cdot a\right)+\left(0\cdot a\right)\right)+\left(-\left(0\cdot a\right)\right) & =\left(0\cdot a\right)+\left(-\left(0\cdot a\right)\right)\\ & {\implies} & \left(0\cdot a\right)+\left(\left(0\cdot a\right)+\left(-\left(0\cdot a\right)\right)\right) & =\left(0\cdot a\right)+\left(-\left(0\cdot a\right)\right)\\ & {\implies} & \left(0\cdot a\right)+0 & =0\\ & {\implies} & 0\cdot a & =0 &  & \end{aligned} \)