Aufgabe:
Sei (K, +, ·) ein Körper und 0 das neutrale Element bezüglich der Addition +. Beweisen Sie:
∀a ∈ K : 0 · a = 0
Problem/Ansatz:
Ich habe hier leider keinen Ansatz. Vielleicht kann mir wer weiterhelfen?
Aloha :)
1)\(\quad0\cdot x+0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x\) [Distributivgesetz]
2)\(\quad0\cdot x+0=0\cdot x\) [Neutrales Element]
Aus der Eindeutigkeit der Lösung der Gleichung \(0\cdot x+z=0\cdot x\) folgt \(0\cdot x=0\).
Wieso muss ich hier das "Distributivgesetz" und das "Neutrale Element" zeigen? Versteh ich nicht ganz
Das hat Tschaka nicht gezeigt. Er hat das Distributivgesetz und das neutrale Element verwendet, um zu zeigen, dass 0 mal x gleich 0 ist.
Die Gültigkeit von Distributivgesetz und neutralem Element kann man voraussetzen, weil wir einen Körper betrachten.
Was mir auch nicht klar ist wieso
Aus der Eindeutigkeit der Lösung der Gleichung 0⋅x+z=0⋅x müsste das nicht 0*x+z = z bzw. 0 + z sein?
Wir haben aus dem Distributivgesetz:$$0\cdot x+\underbrace{0\cdot x}_{z_1}=0\cdot x$$und aus der Existenz des neutralen Elementes:$$0\cdot x+\underbrace{0}_{z_2}=0\cdot x$$Aus der Eindeutigkeit der Lösung einer Gleichung folgt schließlich \(z_1=z_2\) bzw. \(0\cdot x=0\).
\(\begin{aligned} & & 0\cdot a & =0\cdot a\\ & {\implies} & (0+0)\cdot a & =0\cdot a\\ & {\implies} & \left(0\cdot a\right)+\left(0\cdot a\right) & =0\cdot a\\ & {\implies} & \left(\left(0\cdot a\right)+\left(0\cdot a\right)\right)+\left(-\left(0\cdot a\right)\right) & =\left(0\cdot a\right)+\left(-\left(0\cdot a\right)\right)\\ & {\implies} & \left(0\cdot a\right)+\left(\left(0\cdot a\right)+\left(-\left(0\cdot a\right)\right)\right) & =\left(0\cdot a\right)+\left(-\left(0\cdot a\right)\right)\\ & {\implies} & \left(0\cdot a\right)+0 & =0\\ & {\implies} & 0\cdot a & =0 & & \end{aligned} \)
Ein anderes Problem?
Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos