Berechnen sie die angegebenen Skalarprodukte eines Rechtwinkligen Dreiecks

Question

Aufgabe:

Meine Aufgabe ist es, die Skalarprodukte zu berechnen

Problem/Ansatz:

Aufgabe a)

Gegeben sind die Ansätze Skalarprodukte der Vektoren, also a mal b, a mal c und b mal c und eine Skizze eines rechtwinkligen Dreiecks, wobei der Vektor b 3 (nach oben) beträgt und der Vektor a 4 (nach links). Der Vektor c ist nicht gegeben. Mein Ansatz wäre, dass man den Satz des Pythagoras verwendet, aber das war es dann schon auch. Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt!

Nun zu der Aufgabe b)

Auch hier muss ich die Skalarprodukte berechnen, habe aber nur ein Rechteck mit einer Gerade (DF) gegeben. Die Ecken des Rechtecks sind mit ABCD beschriftet und die Gerade führt von dem Eckpunkt D zum Punkt F, welcher auf der Seite des Vektors AB liegt. Die Seite AB (untere Seite des Rechtecks) ist genauso wie DC (obere Seite des Rechtecks) 8 Kästchen lang. CB und DA sind 6 Kästchen lang. Die Gerade DF kann man also näher beschreiben, indem man sagt, dass sie vom Eckpunkt D zum 5. Kästchen der Seite AB führt. Auch hier hoffe ich, dass ihr mir helfen könnt!

Hier soll ich diese Skalarprodukte berechnen: DA mal DF,  FB mal FD,  AF mal AD,  DC mal DF

Answer 1

Für das Skalarprodukt \(\vec v \cdot \vec w\) zwischen zwei Vektoren \(\vec v\) und \(\vec w\) gilt

        \(\vec v \cdot \vec w = |\vec v|\, |\vec w|\, \cos\sphericalangle(\vec v, \vec w)\).

Damit kannst du direkt \(\vec a \cdot \vec b\) berechnen.

Außerdem ist \(\vec c = \vec b - \vec a\)  oder \(\vec c = \vec a - \vec b\) oder \(\vec c = \vec a + \vec b\) oder \(\vec c = -(\vec a + \vec b)\) je nach dem in welche Richtung \(\vec a\), \(\vec b\) und \(\vec c\) gehen.

Answer 2

a*b=0 weil sie einen 90°-Winkel bilden.

Außerdem hast du - wie du richtig sagst - per Pythagoras die Länge von c,

nämlich √(3^2 + 4^2) = 5

Dann brauchst du in dem Dreieck noch die anderen Winkel

(bzw. deren cos ) , am Punkt (-4 ; 0) wäre das etwa ß mit cos(ß)= 4/5

Dann bekommst du die anderen Skalarprodukte über

Vektor x * Vektor y = |x|*|y| *cos(α)

Wenn der Vektor c von P(-4 ; 0 )  nach Q( 0 ; 3 ) geht, sähe es so aus

c*a = -c*(-a)   [ Denn a geht ja 0 nach P , aber du muss beide in P beginnen lassen.]

      = -  |c| * |-a| * cos(ß)

       = - 5 * 4 *  4/5  = -16     etc.

Falls ihr allerdings das Skalarprodukt schon in Koordinaten hattet, ist es ganz einfach:

$$\vec{c}*\vec{a}=\begin{pmatrix} -4\\0 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix}=-4*4+0*3=-16$$

Answer 3

\( \begin{pmatrix} -4\\0 \end{pmatrix} \) ·\( \begin{pmatrix} 0\\3 \end{pmatrix} \)=0.

 \( \begin{pmatrix} -4\\0 \end{pmatrix} \) ·\( \begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix} \)=-16.

\( \begin{pmatrix} 0\\3 \end{pmatrix} \) ·\( \begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix} \)=9.