Ableitungen berechnen von x³

Question

Aufgabe:

Führe die Berechnung zum Beweis für die Ableitung f'(x) = 3x² durch.

Problem/Ansatz:

wie macht man das?Habe es probiert indem man x³ einsetzt und umformt...aber ich bekomme das nicht hin ...bitte

Answer 1

h-Methode:

((x+h)^3 - x^3))/h

ausrechnen und h gegen Null gehen lassen!

Comments

Ich weiß, aber ich bekomme das nicht hin..kann mir jemand eine musterlösung schicken damit ich weiß wie das geht?

Answer 2

[ ( x + h ) ^3 - x^3 ] / h

( h^3 + 3*h^2*x + 3*h*x^2 + x^3 - x^3 ) / h
( h^3 + 3*h^2*x + 3*h*x^2 ) / h
h * ( h^2 + 3*h*x + 3 * x^2 ) / h
h^2 + 3*h*x + 3 * x^2
lim h -> 0 [  h^2 + 3*h*x + 3 * x^2 ] = ( 0 + 0 + 3 * x^2 )

f ´( x^3 =)  3 * x^2

Comments

Danke,danke ,danke

Ist das das selbe für x^4?also 4x³?

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Ist das das selbe für x⁴?also 4x³?

Ja - das geht immer gleich: $$\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\ &=  \lim_{h \to 0}  \frac{(x+h)^4 - x^4}{h} \\ &=  \lim_{h \to 0}  \frac{x^4 + 4x^3h + 6x^2h^2 + 4xh^3 + h^4 - x^4}{h} \\ &=  \lim_{h \to 0}  \frac{  4x^3h + 6x^2h^2 + 4xh^3 + h^4 }{h} \\ &=  \lim_{h \to 0}    4x^3 + \underbrace{6x^2h + 4xh^2 + h^3}_{\to 0} \\ &=  4x^3 \end{aligned}$$und ganz allgemein ist $$f(x) = x^n \\ \implies f'(x) = nx^{n-1}$$