Quetschlemma / Einschachtelungsprinzip - wie funktioniert es?

Question

Hi,
das Quetschlemma- oder Einschachtelungsprinzip scheint ja eine sehr erfolgreiche Methode zu sein, um den Grenzwert von Funktionen zu bestimmen.
Nur habe ich ein Problem: Ich weiß nicht, wie ich die obere , bzw. untere Grenze bestimme, um die eigentliche Funktion einzuschachteln.
Kann mir das einer vielleicht an ein paar Beispielen erläutern? :-)
Gruß

Christoph

Comments

Genau daran sitze ich auch gerade :P

Ich fand dieses Beispiel hier etwas inspirierend:

$$a_n := \frac{1+n}{n^3+5}$$

Dabei gilt

$$0 < \frac{1+n}{n^3+5} = \frac{\frac{1}{n} + 1}{n^2 + \frac{5}{n}} \le \frac{\frac{1}{n} +1}{n^2} = \frac{1}{n^3} + \frac{1}{n^2} \le \frac{1}{n^2} \le \frac{1}{n} \rightarrow 0~für~n \rightarrow \infty$$

Die Folge liegt also zwischen der konstanten Nullfolge und der Folge 1/n, die gegen 0 geht.

Also ist $$b_n := 0 \le a_n \le \frac{1}{n} =: c_n$$ und da $$b_n \rightarrow 0 \land c_n \rightarrow 0$$ geht nach dem Quetschlemma auch an gegen 0.

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Wieso ist 0 die untere Grenze?
und wieso setzt du 1/n+1 / n^2 als obere Grenze?
wieso wird das 1/n + 1 / n^2 = 1/n^3 + 1/n^2 ?


Ich check das einfach nicht. Vielleicht bisschen mehr erklären :D

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hm, ich nehme an, die Vermutung war, dass 0 der Grenzwert von (an) ist. Das sollte mit dem Quetschlemma bewiesen werden. Man kann ja nicht bestreiten, dass 0 < (1+n)/(n^3 + 5), denn sowohl Zähler als auch Nenner sind für alle n aus den natürlichen Zahlen positiv.

Das mit (1/n + 1)/n^2 ist eine Abschätzung. Der Nenner, n^2 + 5/n ist ja in jedem Fall größer als n^2. Also wenn man 5/n weglässt, ist (1/n + 1)/n^2 auf jeden Fall größer als der Term davor, weil ein Quotient größer wird, wenn der Nenner kleiner wird, z.B. 10/1 = 10, 10/0,5 = 20, 10/0,1 = 100.

$$\frac{\frac{1}{n} +1}{n^2} = \frac{\frac{1}{n}}{n^2} + \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n^3} + \frac{1}{n^2}$$, das waren normale Umformungen.

Der Sinn des Ganzen liegt wohl darin, eine Folge zu finden, die kleiner gleich (an) für alle n aus den natürlichen Zahlen ist, und zu der man leicht zeigen kann, dass sie gegen 0 konvergiert.

1/n konvergiert offensichtlich gegen 0. (an) ist für alle n kleiner gleich 1/n. Also konvergiert auch (an) gegen 0.

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Die Behauptung von Thilo87, dass

$$\frac{1}{n^3} +\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n^2}\leq \frac{1}{n}$$

gilt ist falsch. Es gelten gerade die gegenteilegen Ungleichungen.

(Davon, dass sie falsch sind kann man sich durch schlichtes Einsetzen überzeugen)

Es ist auch vollkommen unnötig. Der Grenzwert der Summe von konvergenten Folgen ist die Summe der Grenzwerte.

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Das stimmt natürlich. Das waren nicht meine Überlegungen, sondern die kamen von hier: http://www.gm.fh-koeln.de/~afomusoe/SS2013/Zahlenfolgen_Konvergenz-1.pdf (Seite 5).

Ja natürlich ist es auch unnötig, bei dieser Folge das Quetschlemma anzuwenden. Aber das sollte da ja auch nur als einfaches Beispiel dienen.

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Ich habe nicht gesagt, dass es unnötig ist hier das Sandwichlemma anzuwenden, das ist ein vollkommen legitimer Weg.

Das war nur der Beweis warum die Folge trotz des falschen Beweisversuches gegen 0 konvergiert.

Und das es jemand anders auch falsch macht ist eine ganz ganz schlechte Ausrede. Als Mathematiker/Student  darf man durchaus auch selber denken und nicht alles was irgendwer mal geschrieben hat ist richtig. Vor dem Bachelor war sowas auch mal Lehrziel im Studium.

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Ach was, aber wenn Professoren Fehler machen, darf ich keine machen? Und woraus sollte ich mich denn bitte rausreden? Ich bin mir keiner "Schuld" bewusst ^^

Ich bin dir dankbar für den Hinweis auf den Fehler in dem Beweis, aber das ist kein Grund, mir zu unterstellen, ich würde mir keine Mühe geben bzw. nicht selber denken.

Und jetzt bitte wieder zurück zum Thema.

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Die gibst offensichtlich ungeprüft Gedanken anderer wieder.

Das ist ziemlich exakt "nicht selber denken".

Dass du dir bei den Pseudo-LaTeX-Formeln Mphe gegebn hast streite ich nicht ab.