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Hallo, ich soll folgende Reihe in geschlossene Form bringen:

\( \sum\limits_{i=1}^{\infty}{(\frac{3}{2}-\sum\limits_{j=0}^{i}{(\frac{1}{3})^j})} \)

Den Grenzwert konnte ich schon berechnen, der ist 1/4, allerdings ist das ja leider nicht gefragt. Wolfram Alpha spuckt folgende Formel aus: \( \frac{1}{4} \)·\( 3^{-n} \)(\( 3^{n} \)-1)

Die Formel scheint auch zu stimmen, jetzt ist allerdings meine Frage, wie man darauf kommt.

Über Antworten würde mich sehr freuen.

LG

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Gehe schrittweise vor.

Was ergibt \(\sum\limits_{j=0}^{i}{(\frac{1}{3})^j}\) (unter Verwendung der entsprechenden Summenformel)?

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Das ergibt: \( \frac{(\frac{1}{3})^{i+1}-1}{-\frac{2}{3}} \)

Ja, man kann den Doppelbruch noch auflösen zu \(1,5(1-(\frac{1}{3})^{i+1})\)


Damit geht es jetzt um \(\sum\limits_{i=1}^{\infty}{(\frac{3}{2}- 1,5(1-(\frac{1}{3})^{i+1})}\)

Ja So habe ich es hier in meinen Notizen im nächsten Schritt auch gemacht. Aber wie soll es dann weiter gehen?

Wenn man das jetzt ausklammert steht da:

\( \sum\limits_{i=1}^{\infty}{(\frac{3}{2}-\frac{3}{2}+(\frac{1}{3})^{i+1})} \)

= \( \sum\limits_{i=1}^{\infty}{((\frac{1}{3})^{i+1})} \)

Jetzt könnte man ja wenn man die +1 aus dem Exponenten rauszieht und eine indexverschiebung macht, die Formel \( \frac{1}{1-k} \) anwenden um an den Grenzwert zu kommen, aber genau das will ich ja nicht, sondern eine explizite Formel.

Wie kann ich weiter vorgehen?

Du schreibst Summe von i=1 bis unendlich, bekommst sie  und bist unzufrieden.

Willst einen Term für die Summe von 1 bis n???

Dann müsstest du das schon so hinschreiben (und nicht Foren für nicht zufriedenstellende Antworten verantwortlich machen).

Es tut mir wie gesagt leid, ich bin selbst von der Aufgabe verwirrt und mir ist erst spät bewusst geworden, dass ich am Ende einen Term bis n brauche; wie auch immer das geht (Das ist ja auch meine Frage).

Na, das Problem (Summe bis n) hatten wir heute schon mal geklärt (nur dass die Summe da bis i ging...)

Ich habe dich gerade nicht richtig verstanden. Ja die Summe bis i haben wir ja bereits gelöst, sodass ich zu diesem Zwischenergebnis gekommen bin:

\( \sum\limits_{i=0}^{\infty}{((\frac{1}{3})^{i+1})} \)

Ich weiß nur eben nicht wie das jetzt weiter umformen kann, sodass ich die explizite Formel (aus der Fragestellung) erhalte.

Lies doch einfach mal die bisherigen Beiträge, z,B, die Passage mit

"Ja, man kann den Doppelbruch noch auflösen zu..."

Jetzt weiß ich worauf du hinaus willst... Ich habe beim Ausklammern einen Fehler gemacht. Es muss natürlich heißen:

\( \sum\limits_{i=1}^{\infty}{(\frac{3}{2}·(\frac{1}{3})^{i+1})} \)

Da kann ich jetzt die 3/2 vor die Summe ziehen, sodass da steht:

\( \frac{3}{2} \)·\( \sum\limits_{i=1}^{\infty}{((\frac{1}{3})^{i+1})} \)

Jetzt stehe ich leider wieder vor fast dem selben Problem.

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