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Aufgabe:

Ermitteln Sie im Intervall (−2, 0) eine geschlossene Darstellung für die Funktion

\( f(x) = \sum \limits_{n=1}^{\infty}{(n+\frac{1}{n}) · (x+1)^n}  \)


Problem/Ansatz:

Ich habe versucht abzuleiten und es kam mir auch in gedanken e anzuwenden aber ich komme leider nicht weiter. Was genau muss ich tun?

von

2 Antworten

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Aloha :)

Zu berechnen ist eine geschlossene Darstellung für:$$f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\left(n+\frac{1}{n}\right)\cdot(x+1)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty\underbrace{\frac{n^2+1}{n}}_{=:a_n}\cdot(x+1)^n\quad;\quad x\in]-2;0[$$Wir untersuchen zunächst den Konvergenzradius der Funktion:$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{n^2+1}{n}}{\frac{(n+1)^2+1}{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{n^2+1}{n}\cdot\frac{n+1}{(n+1)^2+1}\right|$$$$\phantom{r}=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{n^2+1}{(n+1)^2+1}\cdot\frac{n+1}{n}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{1}{1+\frac{1}{n^2+1}}\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)\right|=1$$Der Konvergenzradius ist also \(r=1\), daher konvergiert die Summe, wenn:$$|x+1|<r=1\quad\Leftrightarrow\quad-1<x+1<1\quad\Leftrightarrow\quad-2<x<0$$Die Summe konvergiert also für alle \(x\in]-2;0[\). Wir können daher die Summe aufteilen:

$$f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty n(x+1)^n+\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(x+1)^n}{n}$$$$\phantom{f(x)}=(x+1)\sum\limits_{n=1}^\infty n(x+1)^{n-1}+\frac{(x+1)^1}{1}+\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{(x+1)^n}{n}$$$$\phantom{f(x)}=(x+1)\sum\limits_{n=1}^\infty n(x+1)^{n-1}+(x+1)+\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(x+1)^{n+1}}{n+1}$$$$\phantom{f(x)}=(x+1)\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{d}{dx}\left((x+1)^n\right)+(x+1)+\sum\limits_{n=1}^\infty\int\limits_{-1}^x(\tilde x+1)^n\,d\tilde x$$$$\phantom{f(x)}=(x+1)\frac{d}{dx}\left(\sum\limits_{n=1}^\infty(x+1)^n\right)+(x+1)+\int\limits_{-1}^xd\tilde x\sum\limits_{n=1}^\infty(\tilde x+1)^n$$

Wegen \(x\in]-2;0[\) können wir \(q\;:\!=(x+1)\) definieren, das dann im Intervall \(]-1;1[\) liegt. Mit Hilfe der Summenformel für die geometrische Reihe$$\sum\limits_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}\quad\text{für }q\in]-1;1[$$finden wir für unsere unendliche Summe:$$\sum\limits_{n=1}^\infty(1+x)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty(1+x)^n-(1+x)^0=\sum\limits_{n=0}^\infty q^n-1=\frac{1}{1-q}-1=\frac{1-(1-q)}{1-q}$$$$\phantom{\sum\limits_{n=1}^\infty(1+x)^n}=\frac{q}{1-q}=\frac{x+1}{1-(x+1)}=-\frac{x+1}{x}=-1-\frac{1}{x}$$

Damit können wir die Funktion \(f(x)\) weiter vereinfachen:$$f(x)=(x+1)\frac{d}{dx}\left(-1-\frac{1}{x}\right)+(x+1)+\int\limits_{-1}^xd\tilde x\left(-1-\frac{1}{\tilde x}\right)$$$$\phantom{f(x)}=(x+1)\,\frac{1}{x^2}+(x+1)+\left[-\tilde x-\ln|\tilde x|\right]_{-1}^x$$$$\phantom{f(x)}=(x+1)\frac{1}{x^2}+(x+1)-x-\ln|x|-1$$$$\phantom{f(x)}=\frac{x+1}{x^2}-\ln|x|$$Wegen \(x\in]-2;0[\) bzw. \(x<0\) können wir die Betragsstriche noch loswerden:$$\boxed{f(x)=\frac{x+1}{x^2}-\ln(-x)}\quad;\quad x\in]-2;0[$$

von 51 k 🚀

Ich dachte, du wolltest die Herleitung haben...

Wenn dir einfach nur das fertige Ergebnis reicht, schreib das doch bitte in Zukunft in die Aufgabe, dann kann ich mir die ganze Mühe sparen.

Danke, ich habe zwar nicht die Frage gestellt, doch trotzdem. Wenn es gestattet ist, habe ich aber noch eine Frage: Wie kommst du beim Integral auf die Grenze von -1 bis x?

Gruß, Hogar

(Es ist alles schon so lange her.)

Die obere Grenze \(x\) ist klar. Die untere Grenze habe ich so gewählt, dass exakt der benötigte Ausdruck rauskommt:$$\int\limits_{-1}^x(\tilde x+1)^n\,d\tilde x=\left[\frac{(\tilde x+1)^{n+1}}{n+1}\right]_{\tilde x=-1}^x=\frac{(x+1)^{n+1}}{n+1}-0$$

Danke, wenn es da so steht, ist es klar.

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Ich habe einfach einmal nachgeschaut, was Wolf RamAlpha dazu sagt. Und siehe da:

Eingabe:  Sum [(n+1/n)*(x+1)^n], n=1to Infinity

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Sum+%5B%28n%2B1%2Fn%29*%28x%2B1%29%5En%5D%2C+++n%3D1to+Infinity

von 1,6 k

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