Ableitung mit der Produktregel mit einem Faktor als gebrochene e-Funktion mit Wurzel im Nenner

Question

Hi, bei folgendem Term komme ich immer auf die falsche Lösung. Es gilt diesen abzuleiten:

f(x) = $\frac{e^2}{^3\sqrt{2x+1}}$ * e^5x-2

Meine Überlegung war es mit der Produktregel abzuleiten, weil es ja ein Produkt als ganzes ist.

Also hab ich definiert:

u(x) = e² * (3+2x)^{-$\frac{1}{3}$}          und           v(x) = e^5x-2      

Die Ableitung von v(x) müsste v'(x) = 5*e^5x-2 sein. Aber bei u'(x) tu ich mir schwer. Wie komme ich auf die korrekte Ableitung von u(x)? Und wie wird der Term insgesamt abgeleitet?

Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Aloha :)

Ich schlage vor, den Term vor dem Ableiten zunächst zu vereinfachen. Der Faktor $e^2$ im Zähler des Bruchs und das $e^{-2}$ hinten im Faktor $e^{5x-2}$ kompensieren sich zu $1$.

$$\left(\frac{e^2}{\sqrt[3]{2x+1}}\,e^{5x-2}\right)'=\left(\frac{e^2}{(2x+1)^{1/3}}\,e^{5x}e^{-2}\right)'=\left(\underbrace{(2x+1)^{-1/3}}_{=u}\,\underbrace{e^{5x}}_{=v}\right)'$$Jetzt folgt die eigentlich Ableitung mittels Produktregel und Kettenregel:$$=\underbrace{\overbrace{-\frac{1}{3}(2x+1)^{-4/3}}^{äußere}\cdot\overbrace{2}^{innere}}_{=u'}\cdot\underbrace{e^{5x}}_{=v}+\underbrace{(2x+1)^{-1/3}}_{=u}\cdot\underbrace{\overbrace{e^{5x}}^{äußere}\cdot\overbrace{5}^{innere}}_{=v'}$$Das lässt sich noch etwas zusammenfassen:

$$=-\frac{2}{3}\frac{1}{(2x+1)^{4/3}}\cdot e^{5x}+\frac{1}{(2x+1)^{1/3}}\cdot5e^{5x}$$$$=-\frac{2}{3}\frac{1}{(2x+1)\cdot(2x+1)^{1/3}}\cdot e^{5x}+\frac{1}{(2x+1)^{1/3}}\cdot5e^{5x}$$$$=\frac{e^{5x}}{\sqrt[3]{2x+1}}\left(-\frac{2}{3}\frac{1}{(2x+1)}+5\right)=\frac{e^{5x}}{\sqrt[3]{2x+1}}\left(\frac{-2+5\cdot3(2x+1)}{3(2x+1)}\right)$$$$=\frac{e^{5x}}{\sqrt[3]{2x+1}}\,\frac{30x+13}{3(2x+1)}$$

Comments

Tschakabumba, meinen allergrößten Dank. Sensationell gute Erklärung, vielen Dank für deine Mühe! Auf das vereinfachen von e² zu 1 wäre ich so sicher nicht gekommen, ein guter Trick den ich mir merken werde :)

Answer 2

u(x) wird ebenfalls nach der Produktregel abgeleitet, nachdem  du es als Produkt umgeschrieben hast. Du kannst es aber in der gegebenen Form auch nach der Quotientenregel ableiten.

Comments

Okay, alles klar :)