Könnte mir jemand helfen, wie man diesen Integral rechnen kann? Danke
Vermutlich existiert das Integral nicht.
Aloha :)
Die zu integrierende Funktion ist ungerade:f(−x)=(−x)+sin(−x)1+(−x)2=−x−sin(x)1+x2=−x+sin(x)1+x2=−f(x)f(-x)=\frac{(-x)+\sin(-x)}{1+(-x)^2}=\frac{-x-\sin(x)}{1+x^2}=-\frac{x+\sin(x)}{1+x^2}=-f(x)f(−x)=1+(−x)2(−x)+sin(−x)=1+x2−x−sin(x)=−1+x2x+sin(x)=−f(x)Daher istI=∫Rf(x)dx=∫−∞0f(x)dx+∫0∞f(x)dx=∫∞0f(−x)d(−x)+∫0∞f(x)dxI=\int\limits_\mathbb{R}f(x)dx=\int\limits_{-\infty}^0f(x)dx+\int\limits_0^\infty f(x)dx=\int\limits_{\infty}^0f(-x)d(-x)+\int\limits_0^\infty f(x)dxI=R∫f(x)dx=−∞∫0f(x)dx+0∫∞f(x)dx=∞∫0f(−x)d(−x)+0∫∞f(x)dxI=∫∞0(−f(x))(−dx)+∫0∞f(x)dx=∫∞0f(x)dx+∫0∞f(x)dx\phantom{I}=\int\limits_{\infty}^0(-f(x))(-dx)+\int\limits_0^\infty f(x)dx=\int\limits_{\infty}^0f(x)dx+\int\limits_0^\infty f(x)dxI=∞∫0(−f(x))(−dx)+0∫∞f(x)dx=∞∫0f(x)dx+0∫∞f(x)dxI=−∫0∞f(x)dx+∫0∞f(x)dx=0\phantom{I}=-\int\limits_0^{\infty}f(x)dx+\int\limits_0^\infty f(x)dx=0I=−0∫∞f(x)dx+0∫∞f(x)dx=0
Vielen Dank für die Mühe
Existieren die uneigentlichen Integrale?
Für c≥0c\ge0c≥0 ist nach meinen Berechnungen∫0cx+sinx1+x2 dx≥∫0c12x1+x2 dx=14log(1+c2).\int_0^c\frac{x+\sin x}{1+x^2}\,\mathrm dx\ge\int_0^c\frac{\tfrac12x}{1+x^2}\,\mathrm dx=\tfrac14\log(1+c^2).∫0c1+x2x+sinxdx≥∫0c1+x221xdx=41log(1+c2).Scheint so, als würdest du sowas wie „∞−∞=0”„\infty-\infty=0”„∞−∞=0” rechnen, was man besser lassen sollte.
Ich habe die Existenz der Integrale nicht geprüft, sondern auf die Aufgabenstellung vertraut. Die Integration über ganz R\mathbb{R}R bedeutet ja von ]−∞∣+∞[]-\infty|+\infty[]−∞∣+∞[. Wenn die Grenzwerte nicht existieren sollten, ist der Aufgabensteller zu verfluchen ;)
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