Analysis Verdopplungszeit COVID

Question

Aufgabe 2
Wie Sie zum Beispiel auf https://covid.firrm.de/ sehen, lässt sich die Verbreitung von 
COVID-19 in Brasilien zur Zeit noch gut mit einem exponentiellen Wachstums modellieren. Für
die Anzahl der Personen, die bis zum Zeitpunkt t in Brasilien erkrankt sind, setzen wir die Formel
f(t) = a · e^λt an für Konstanten  a,λ ∈ R. Dabei messen wir t in Tagen nach dem 30. April 2020.

a.) Nach den Daten der Johns Hopkins Universitat gab es in Brasilien bis zum 30. April be- 
reits 87187 Erkrankungen. Die Verdopplungszeit betrug etwa 8.6 Tage, d.h. f(t) verdoppelt
sich ungefähr alle  8.6 Tage. Berechnen Sie damit die Konstanten a und λ und damit eine
Prognose fur die Anzahl der Fälle am 1. Mai.


Ich habe die Funktion in der Form aufgeschrieben: f(t) = a · 2^λ*8,6  . Nun weiß ich nicht wie ich a und λ rauskriege.

Answer 1

Aloha :)

a) Die Funktionsgleichung kannst du wie folgt formulieren:$$f(t)=87\,187\cdot2^{t/8,6}=87\,187\,e^{\frac{t}{8,6}\cdot\ln(2)}=87\,187\,e^{\lambda t}\quad;\quad \lambda=\frac{\ln(2)}{8,6}\approx0,0806$$Für den 1. Mai, also $t=1$ Tag später, können wir daher $94\,505$ Erkrankungen prognostizieren.

b) Die Tangente an dem Punkt $(0|f(0))$ bestimmen wir mit der Ableitung $f'(0)$:$$f'(t)=87\,187\cdot\lambda\,e^{\lambda x}\quad\Rightarrow\quad f'(0)=87\,187\cdot\frac{\ln(2)}{8,6}\approx7027$$$$\Rightarrow\quad g(t)=f(0)+f'(t)\cdot t=87\,187+7027\,t$$Gemäß dieser Näherung werden für den 1. Mai $g(1)=94\,214$ Erkrankungen prognostiziert.

c) Der linearisierte Wert beträgt $\frac{94\,214}{94\,505}\approx99,69\%$ vom exponentiell vorhergesagten Wert. Die relative Abweichung ist mit $0,31\%$ also gering.

Answer 2

f(t) = 87187·2^(t/8.6) = 87187·e^(0.08060·t)