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Ich benötige dringend Hilfe bei einer Extremwertaufgabe. Wir sollen die minimalste Diagonale von einem Rechteck mit 30 cm Umfang berechnen und ich stehe komplett auf dem Schlauch, wie ich damit anfangen soll und welche Formel ich wie benutze dafür.

Danke schon mal im Voraus.

von

2 Antworten

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Aloha :)

Das Rechteck habe die Seitenlängen \(a\) und \(b\) und den Umfang \(30\,cm\). Das heißt:$$2a+2b=30\quad\Rightarrow\quad a+b=15\quad\Rightarrow\quad b=15-a$$Nach Pythagoras gilt dann für die Diagonale \(d\):$$d^2=a^2+b^2=a^2+(\underbrace{15-a}_{=b})^2=a^2+(15^2-30a+a^2)=2a^2-30a+225$$Wenn die Diagonale \(d\) minimal ist, ist auch \(d^2\) minimal und umgekehrt. Wir finden das Minimum daher durch Ableiten von \(d^2\) nach \(a\):$$0\stackrel{!}{=}4a-30\quad\Rightarrow\quad a=7,5\quad\Rightarrow\quad b=15-a=7,5$$Die Diagonale ist also minimal, wenn das Rechteck ein Quadrat mit der Seitenlänge \(7,5\,cm\) ist.

von 39 k

Ich wusste nicht, dass du online bist. Es braucht sich also momentan niemand mehr Mühe zu geben, Fragesteller zu Eigenleistungen zu bewegen.

Sorry, du hast leider nach mir geantwortet...

Wenn ich sehe, dass du in einem Thread dein Frage-Antwort-Quiz eröffnet hast, störe ich in der Regel nicht mehr.

Hier warst du einfach zu langsam ;)

Sorry. Das Forum reagiert manchmal etwas langsam.

Vielen Vielen Dank für die Erklärung!!!!!

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Rechteck mit 30 cm Umfang 

2(a+b)=30

a+b=15

minimalste Diagonale

\( \sqrt{a^2+b^2} \) soll also so klein wie möglich werden.

Wegen a+b=15 gilt b=15-a.

Damit soll also  \( \sqrt{a^2+(15-a)^2} \)  so klein wie möglich werden.

Jetzt du.

von 17 k

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