Funktionsgleichung der Parabel durch Parallele finden?

Question

Hallo

wie berechnet man folgende Aufgabe;

Der Punkt P (3/12)  liegt auf einer nach oben geöffneten Normalparabel p.
Die Parabel p hat als Symmetrieachse die Parallele zur y-Achse durch den Punkt A(-1/0).
Sie schneidet die x-Achse in den Punkten N1 (mit x < 0 ) und N2.
Der Parabelpunkt R (0/y) sowie die Punkte P und N1 bilden das Dreieck RPN1
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks.

-

Die Lösung für den Flächeninhalt des Dreiecks wäre 27 Flächeneinheiten.

Aber ich verstehe nicht wie man überhaupt auf die Gleichung der Parabel kommt. Man hat ja nur P (3/12)

Kann mir jemand dringend helfen?

Vielen Dank

Lg

Answer 1

Hallo,

allgemeine Scheitelpunktform einer Parabel:

$$f(x)=a(x-d)^2+e$$

a = Stauch-/Streckfaktor, der hier wegfällt, weil es sich um eine Normalparabel handelt

-d = Verschiebung entlang der x-Achse. Die Verschiebung ergibt sich aus der Aussage, dass die Symmetrieachse der Parabel durch -1 geht, also wird der Scheitelpunkt um eine Einheit nach links verschoben ⇒

$$f(x)=(x+1)^2+e$$

e = y-Koordinate des Scheitelpunktes

Den kannst du berechnen, indem du die Koordinaten von P in die Gleichung einsetzt:

$$12=(3+1)^2+e\\-4=e$$

$$f(x)=(x+1)^2-4$$

Mit dieser Funktionsgleichung solltest du den Rest der Aufgabe bearbeiten können.

Falls du dabei noch Hilfe brauchst, melde dich bitte.

Comments

Vielen Dank,

ich hätte die Aufgabe mit  y= x²+px+q berechnet. Warum kann man das hier nicht machen?

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Vielleicht geht das auch.

Die Scheitelpunktform zu verwenden ist schneller, wenn man etwas über den Scheitelpunkt weiss.

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Danke aber woher weiß man das Punkt A (-1/0) zum Scheitel gehört?

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Die Symmetrieachse ist immer durch die x-Koordinate des Scheitelpunkts gegeben.

Answer 2

Ansatz

f(x) = (x + 1)² + e

f(3) = 12 --> e = -4

Also

f(x) = (x + 1)² - 4

Comments

Vielen Dank,

ich hatte das bei der Lösung auch so. Aber ich verstehe nicht warum man die Formel y=(x-d)²+c benutzt. Ich dachte man nutzt die Formel y= x²+px+q wenn man Punkte angegeben hat -> fürs Gleichungssystem

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Weil du die Bedingung der Symmetrie am besten über die Scheitelpunktform modellieren kannst.

Answer 3

Hallo

 die Symmetrie Achse geht durch den Scheitel. also weiss man Scheitel bei x=-1 und nimmt die Scheitelform

 also y=a(x+1)²+b wegen Normalparabel ist a=1 also y=(x+1)²+b den Punkt (3,12) einsetzen um b zu bestimmen, dann die Nullstellen.

um das Dreieck auszurechnen musst du es viellicht in 2 Teile teilen, dazu die Gerade von R nach P mit der x-Achse schneiden.

Gruß lul

Comments

Danke dir,

ich habs nicht ganz verstanden woher weiß man, dass die Symmetrie Achse durch den Scheitel geht? Sorry für Frage aber das kann ich mir nicht erklären