Gemeinlot bestimmen für zwei windschiefe Geraden

Question

Berechnen Sie den Abstand zwischen den windschiefen Geraden:
g(t) = (1,1,0) +t(1,2,3)
 und h(s) = (1,0,1)+t(-1,1,0)

und berechnen Sie jeweils den Punkt des Gemeinlots auf den Geraden.

liebe Community. Ich habe folgendes problem:

Den Abstand der Windschiefen Geraden zu berechnen ist kein Problem, nur weiß ich einfach nicht wie ich diesen Lot berechne.

Ich frag mein Prof und der sagt mir ja dass sind zwei

Punkte die auf den Geraden die den kürzesten Abstand angeben. Da denke ich mir ja dann zeig mir doch wie es geht aber fehlanzeige.

Im Skript Vorlsungsverzeichniss nichts. Bitte sagt mir mal wie ich dass Berechne und bitte Rechnerisch. Ich krieg nochn Vogel.

meayme00

Comments

Gerade hast du meinen geometrischen Wortschatz krass aufgepeppt:

"Gemeinlot" - super Wort !

Answer 1

Jeder Punkt auf g ist von der Art  (1,1,0) +t(1,2,3)

und jeder auf h sieht so aus  (1,0,1)+s(-1,1,0)

Verbindungsvektor der beiden ist also

(1,1,0) +t(1,2,3)   -   (     (1,0,1)+s(-1,1,0) )

= (0 , 1 , -1) + +t(1,2,3)   - s(-1,1,0)

Der muss auf beiden Geraden senkrecht stehen, also

( (0 , 1 , -1) + +t(1,2,3)   - s(-1,1,0) ) * (-1,1,0)  = 0

und  (0 , 1 , -1) + +t(1,2,3)   - s(-1,1,0) * (1,2,3) = 0

Aus den beiden Gleichungen kannst du s und t ausrechnen

und bekommst beim Einsetzen in die Geradengleichungen

die gesuchten Punkte.

Comments

Ich verstehe dass nicht. Können sie dass näher und ausführlicher erklären. Wieso diese ganzen Schritte ich check dann Null durch vor allem wie soll ich dieses s und t ausrechnen dann hab ich tausend Sachen das stehen. Was wenn es nicht aufgeht?

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Okay hab es augerechnet komme auf einmal: 6t + 1 = 0 und einmal auf 6t - s -1 = 0

Und jetzt was soll dass mir sagen oder bringen?

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6t + 1 = 0    ==>  t = -1/6

und damit in diese  6t - s -1 = 0  gibt  s=-2 .

Diese beiden eingesetzt in  (1,1,0) +t(1,2,3)

und  (1,0,1)+s(-1,1,0) liefert die beiden Punkte.

Zur Kontrolle:  Der Abstand dieser Punkte

voneinander muss mit deinem vorherigen

Ergebnis (Abstand der windschiefen Geraden)

übereinstimmen.

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Ich bekomme \(t= \frac 19\) und \(s= \frac 59\) raus.

(klick auf das Bild)

.. habe ich irgendwas falsch abgeschrieben (s. Script im Geoknecht3D)?

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Nein Herr mathef stimmt nicht. Keine Ahnung woher dass kommt aber für den Abstand der Wndschiefen ergibt sicher bei mir 2*sqrt(3)/3 und bei dem Lot Dreck kommt irgendwas mit wurzel 500 stimmt nicht was ihr sagt überzeugt euch selber und rechnet es mal aus. Ja dann könnt ihr mir hier auch  nicht mehr weiterhelfen nehme ich an oder gibt es noch eine andere Methode?

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@ Werner :  Ich bekomme t=1/9 und s=5/9 raus.

Das stimmt wohl auch. Ich hatte mit den falschen

Ergebnissen des Fragestellers weitergearbeitet.

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Ja dann könnt ihr mir hier auch  nicht mehr weiterhelfen nehme ich an ..

Diese Annahme ist falsch! Wir können Dir durchaus weiter helfen. Die erste Information über \(t\) und \(s\) stammte ja von Dir. Du schriebst:

Okay hab es augerechnet komme auf einmal: 6t + 1 = 0 und einmal auf 6t - s -1 = 0

woraus mathef zunächst die falschen Schlüsse zog. Nun haben ich und mathef nochmal nachgerechnet und als Lösung \(t= \frac 19\) und \(s= \frac 59\) heraus bekommen (siehe oben mein Kommentar von gestern). Wenn Du Dir die Szene oben in meinem Kommentar anschaust, so macht dieses Ergebnis auch Sinn. Die Lotpunkte \(P\) und \(Q\) sind$$P = g\left(t=\frac 19\right) =\frac 19 \begin{pmatrix} 10\\ 11\\ 3\end{pmatrix}, \quad Q = h\left( s = \frac 59 \right) = \frac 19\begin{pmatrix} 4\\ 5\\ 9\end{pmatrix}$$ Der Differenzvektor und seine Länge ist$$\vec{QP} = \frac 13 \begin{pmatrix} 2\\ 2\\ 2 \end{pmatrix} \implies |\vec{QP}| = \frac 23  \sqrt 3$$was mit Deinem Ergebnis für den Abstand übereinstimmt.

Falls noch etwas unklar ist, so melde Dich bitte. Es kann Dir sicher jemand weiter helfen.

oder gibt es noch eine andere Methode?

ja gibt es - aber sie führt auf das selbe Gleichungssystem und natürlich zur selben Lösung.

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Ja ich bekomme diese s und t Werte aber nicht raus.

Kannst du mir mal bitte ausführlich zeigen was du da rechnest. Und was dieses plus plus bei Herrn Mathef bedeutet.

Sehr geehrte Herren, Sie sehen ja anscheinend dass ich es einfach nicht gebacken bekomme.

Meine s und t sind sind andere Werte und ich rechne genau so wie Herr Mathef es beschrieben hat, also bitte zeigt mir mit einem rechenweg wie ihr zu den Resultaten von s und t kommt.

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das ++ ist ein Druckfehler - einfach nur +.

$$ \begin{aligned} ((0 , 1 , -1) + t(1,2,3)  - s(-1,1,0) ) (-1,1,0)  &= 0 \\   ((0 , 1 , -1) + t(1,2,3)  - s(-1,1,0) ) (1,2,3) &= 0  \\  1 + t - 2s &= 0 \\ -1 + 14t - s &= 0 \implies s = 14t-1 \\ 1+ t - 2(14t - 1) &= 0 \\ 1 + t -28t + 2 &= 0 \\ 3 &= 27 t \\ t &= \frac 19 \\ \implies s = 14 \cdot \frac 19 - 1 &= \frac 59\end{aligned}$$

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Ou man jetzt sehe ich auch mein Fehler da war ne Doppelklammer ich habe dass nicht gesehen.

Jetzt wird so einiges klar.

Jedoch habe ich eine andere Frage:

Und zwar wie kommen sie oben auf die Vektoren (10,11,3) und (4,5,9)?

Vielen Dank für die Mühe und verzeihen sie mir die Umstände aber ich habe es jetzt auch Verstanden die vorangensweise. Nur diese Vektoren bin ich noch nicht dahinter gekommen wie kommen die zusatnde?

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Und zwar wie kommen sie oben auf die Vektoren (10,11,3) und (4,5,9)?

ich habe in die Geradengleichung $$g: \space x =  \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +t \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}$$für \(t\) den Wert aus der Lösung \(t=\frac 19\) eingesetzt: $$\begin{aligned} P &= g\left( t = \frac 19\right) \\&=  \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \frac 19 \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} \\&= \frac 19 \begin{pmatrix}9 \\ 9 \\ 0 \end{pmatrix} + \frac 19 \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} \\&= \frac 19 \left( \begin{pmatrix}9 \\ 9 \\ 0 \end{pmatrix} +  \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}\right) \\&= \frac 19 \begin{pmatrix}9+1 \\ 9+2 \\ 0+3 \end{pmatrix} \\&= \frac 19  \begin{pmatrix} 10 \\ 11 \\ 3 \end{pmatrix} \end{aligned}$$und für \(h(s=\frac 59)\) habe ich es genauso gemacht.

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Okay vielen Dank Herr Salamon. Ich danke ihnen für die ganze Mühe, dass war sehr hilfreich.

Ich bin Ihnen sehr Dankbar.

Answer 2

Das Gemeinlot bestimmst du am einfachsten über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren

[1, 2, 3] ⨯ [-1, 1, 0] = [-3, -3, 3] = - 3·[1, 1, -1]

Das Gemeinlot ist also [1, 1, -1]

Jetzt bestimmen wir die Punkte auf den Geraden. Dazu setzen wir sie inkl. dem Verbindungsvektor gleich

[1, 1, 0] + r·[1, 2, 3] + s·[1, 1, -1] = [1, 0, 1] + t·[-1, 1, 0] --> r = 1/9 ∧ s = - 2/3 ∧ t = 5/9

L1 = [1, 1, 0] + 1/9·[1, 2, 3] = [10/9, 11/9, 1/3]

L2 = [1, 0, 1] + 5/9·[-1, 1, 0] = [4/9, 5/9, 1]

Das sind also auch die Punkte der beiden Geraden, die den kürzesten Abstand zueinander haben.

Comments

Vielen Dank. Mathecoach. Diesen Weg werde ich mir auch aufschreiben und merken. Danke.