0 Daumen
1k Aufrufe

Hallo,
ich habe Punktepaare, die ich in ein Diagramm einzeichne und darauf eine Trendlinie ergänze.Bei dieser Trendlinie (Polynom dritten Grades) kann man einstellen, dass der Koordinatenursprung ein Schnittpunkt ist. (also in Excel)

Ich bekomm das irgendwie mit dem Bild hochladen nicht hin, sonst hätte ich das veranschaulicht .. mhhh...

Also meine Frage ist: wie wird das mathematisch umgesetzt ? Weil die Trendlinie ändert sich schon deutlich, wenn ich als Schnittpunkt z.b. 0 eingebe, zu keinem Schnittpunkt.
(ich hoffe ich drück mich verständlich aus)


Füge ich meinen Daten einfach einen weiteren Punkt (0,0) hinzu ? Oder ändere ich was an Polynom.

Also das ist eine allgemeine Verständnissfrage, da mich das interessiert.


liebe Grüße

Avatar von

3 Antworten

0 Daumen

Wenn deine Funktion 3. Grades den Punkt (0|0) zwingend enthalten soll, dann wähle für die Methode der kleinsten Quadrate den Ansatz f(x)=x(ax²+bx+c).

Avatar von 53 k 🚀
0 Daumen

Aloha :)

Die Gauß'sche Methode der kleinsten Fehlerquadrate minimiert immer die Varianz der Messpunkte von der Trendlinie. Wenn du sicher sein möchtest, dass dein Polynom dritten Grades durch den Nullpunkt geht, musst du das daher in der Modellgleichung erzwingen:$$f(x)=ax^3+bx^2+cx\qquad\text{und kein \(d\) mehr, das ist fest auf \(d=0\).}$$

Avatar von 148 k 🚀
0 Daumen

Hallo,

nochmal zum Verständnis:

Im Falle der Suche nach der 'best passenden Funktion' \(f(x)\) wird ein Modell gewählt, was ganz allgemein so aussieht:$$f(x) = \alpha_1 \cdot \varphi_1(x) + \alpha_2 \cdot \varphi_2(x) + \alpha_1 \cdot \varphi_2(x) + \dots $$Im Falle eines (üblichen) Polynoms, wären die \(\varphi_k\) ganz einfach$$\varphi_k = x^{k-1} \quad \implies \varphi_1(x)=1, \quad \varphi_2(x) = x, \quad \varphi_3(x)=x^2, \dots$$und gesucht werden immer die \(\alpha_k\), also beim Polynom die Koeffizienten des Polynoms. Das Kriterium dabei ist es, die Quadratesumme aller Abweichungen zu den 'Messpunkten' \(y_i\) zu minimieren$$\sum_i (f(x_i) - y_i)^2 \to \min $$Die \(\alpha_k\) werden anschließend nach den Werte der  \(\varphi_k(x_i)\) und \(y_i\) optimiert, wobei es dann egal ist, wie die \(\varphi_k(x_i)\) berechnet worden sind. Wichtig dabei ist, dass das Verfahren - die Minimierung der Quadratesummen aller Abweichungen - immer das gleiche bleibt.

Für ein Polynom, was zwingend durch den Nullpunkt gehen soll, setzt man einfach die \(\varphi_k\) wie folgt $$\varphi_k = x^{k} \quad \implies \varphi_1(x)=x, \quad \varphi_3(x)=x^2, \dots$$was dann zu Deinem Fall mit der kubischen Gleichung durch den Nullpunkt führt:$$f(x) = \alpha_1 x + \alpha_2 x^2 + \alpha_3x^3$$oder wenn gefordert ist, dass das Polynom  die X-Achse bei \(x^*\) schneiden soll, setzt man ... $$\varphi_k = (x-x^*)^{k} \quad \implies \varphi_1(x)=x-x^*, \quad \varphi(x)=(x-x^*)^2, \dots$$

Die dann berechneten \(\alpha_k\) passen dann natürlich nur zu den angenommenen \(\varphi_k\). Gegebenfalls muss man dann in einem Nachlauf noch die eigentlichen Koeffizienten \(a_k\) des Polynoms ausrechnen, damit es die klassische Form annimt$$f(x) = \sum_{k=1}^n a_k x^{k-1}$$ Mehr dazu gibt es z.B. bei Wiki; wenn auch etwas anstrengend zu lesen.

Gruß Werner

Avatar von 48 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community