Question

Nullstelle durch Substitution finden?

x^6-10x^3+9=0

Ich habe x1=1, x2=-1, x3≈4.4, x4≈-4.4

I'm Lösungsbuch steht aber x1=1, x2=3, x3=-3

 Kann mir bitte jemand den ausführlichen lösungsweg beschreiben. Dankeschön

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Wie soll man bei der Aufgabe x^6 -10x^3+9 = 0 eine Substitution machen?

Stichworte: substitution,quadratische-gleichungen

Wie soll man bei x^6 -10x^3+9 = 0 eine Substitution machen ?

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Ersetze
x^3 = z

z^2 - 10 * z + 9

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ah ok macht sinn

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Vom Duplikat:

Titel: x^6-10x^3+9= 0 Substitution

Stichworte: substitution,gleichungen

wie wird hier den substituiert, wenn z = x^2 ist?

x^6-10x^3+9= 0

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Vgl. https://www.mathelounge.de/407286/wie-soll-man-bei-der-aufgabe-x-6-10x-eine-substitution-machen

Answer 1

Setze x³=z dann ist:

z²-10z+9=0

(z-1)(z-9)=0

z-1=0 Resubstitution x³-1=0 also x=1

z-9=0 Resubstitution x³-9=0 also x=3^2/3  

Answer 2

Hallo jd,

> wie wird hier denn substituiert, wenn z = x² ist? 

x⁶ - 10x³ + 9 = 0

Substitution  z = x³    ergibt   z² - 10z + 9 = 0

⇔  (z - 1) * (z - 9) = 0   ⇔   z = 1  oder z = 9     ( →  x = 1 oder x = ³√9 ) 

wenn man die Faktorzerlegung nicht sieht,  pq-Formel  anwenden.

Gruß Wolfgang

Comments

ich habe jetzt als Ergebnisse z₁= 9 z₂= 1. Muss ich jetzt dann die Wurzel von 9 und 1 nehmen?

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wegen x³ = z  musst du jeweils die 3. Wurzel nehmen:

³√9 bleibt stehen oder wird gerundet berechnet,

 ³√1  = 1 

Answer 3

Substitution (ersetzen) z=x³

0=z²-10*z+9 ist eine Parabel der Form 0=x²+p*x+q Nullstellen mit der p-q-Formel

x1,2=-p/2+/-Wurzel((p/2)²-q)

hier p=-10 und q=9

z1,2=-(-10)/2+/-Wurzel((-10/2)²-9)=5+/-Wurzel(25-9)=5+/-Wurzel(16)

z1,2=5+/-4

z1=5+4=9 und z2=5-4=1

z1=9=x³  → x1=3.te Wurzel(9)=2,08 und z2=1=x³ → x2=3.te Wurzel(1)=1

Die Lösungen in deinem Buch x2=3 und x3=-3 sind falsch

Hinweis:Immer den Graphen zeichnen.Am besten mit einem Graphikrechner (GTR,Casio),wie ich einenhabe.Das erspart sehr viel Zeit und Nerverei

~plot~x^6-10*x^3+9;[[-5|5|-15|15]];x=1;x=2,08~plot~

Answer 4

Lösung ohne Substitution: (wenn nichts anderes vorgegeben)

\( x^6-10x^3+9=0 \)

\( x^6-10x^3=-9\)      quadratische Ergänzung    \(+ (\frac{10}{2})^2 \).

\( x^6-10x^3+(\frac{10}{2})^2=-9+(\frac{10}{2})^2\)   2.Binom:

\( (x^3-\frac{10}{2})^2=16|±\sqrt{~~}\)

1.)

\( x^3-5=4\)

\( x^3=9\)

\( x_1=\sqrt[3]{9}≈2,08\)

2.)

\( x^3-5=-4\)

\( x^3=1\)

\( x_2=1\)

Answer 5

Sowohl deine Lösungen, als auch die aus dem Lösungsbuch passen nicht zu der Gleichung \(x^6-10x^3+9=0\).

Die Gleichung \(x^4-10x^2+9=0\) hat die Lösungsmenge \(\mathbb L=\{-3; -1; +1; +3\}\)

Answer 6

x^6 - 10·x^3 + 9 = 0

x^3 = z

z^2 - 10·z + 9 = 0 --> z = 9 ∨ z = 1

x = 9^(1/3) = 2.080

x = 1

Weder Deine noch die Musterlösung sind nachvollziebar.