Hall, ich soll das Konvergenzintervall dieser Potenzreihen bestimmen:
P(x) =
∑k=0∞k∗2kk2+1(x−1)k \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{k * 2^{k}}{k^{2}+1}(x-1)^{k}} k=0∑∞k2+1k∗2k(x−1)k
Würde mich über Hilfe freune!
Nimm das Quotientenkriteruim, dann folgt
limk→∞2kkk2+12k+1(k+1)(k+1)2+1=limk→∞2kk [(k+1)2+1](k2+1)2k+1(k+1)=12k(k2+2k+2)(k2+1)(k+1)=limk→∞121+2/k+2/k2(1+1/k)(1+1/k2)=12 \lim_{k \to \infty} \frac{ \frac{2^k k}{k^2+1} } { \frac{ 2^{k+1} (k+1)} { (k+1)^2+1 } } = \lim_{k \to \infty} \frac{ 2^k k \ [(k+1)^2 +1] }{ (k^2+1) 2^{k+1} (k+1) } = \frac{1}{2} \frac{ k (k^2+2k+2) }{ (k^2+1)(k+1) } = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{2} \frac{ 1+2/k + 2/k^2 }{ (1+1/k)(1+1/k^2) } = \frac{1}{2}k→∞lim(k+1)2+12k+1(k+1)k2+12kk=k→∞lim(k2+1)2k+1(k+1)2kk [(k+1)2+1]=21(k2+1)(k+1)k(k2+2k+2)=k→∞lim21(1+1/k)(1+1/k2)1+2/k+2/k2=21
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