Konvergenzintervall von Potenzreihen in R

Question

Hall, ich soll das Konvergenzintervall dieser Potenzreihen bestimmen:

P(x) =

\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{k * 2^{k}}{k^{2}+1}(x-1)^{k}} \)

Würde mich über Hilfe freune!

Answer 1

Nimm das Quotientenkriteruim, dann folgt

$$ \lim_{k \to \infty} \frac{ \frac{2^k k}{k^2+1} } { \frac{ 2^{k+1} (k+1)} { (k+1)^2+1 } }  = \lim_{k \to \infty} \frac{ 2^k k \ [(k+1)^2 +1] }{ (k^2+1) 2^{k+1} (k+1) } = \frac{1}{2} \frac{ k (k^2+2k+2)  }{ (k^2+1)(k+1)  } = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{2} \frac{ 1+2/k + 2/k^2 }{ (1+1/k)(1+1/k^2) } = \frac{1}{2}$$