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wir haben gerade das Lotfußpunktverfahren zum Ermitteln eines Abstands zwischen einer Geraden und einem Punkt durchgenommen. Nun sollen wir die folgende Aufgabe lösen und dabei das Lotfußpunktverfahren anwenden. Das Kreuzprodukt soll nicht verwendet werden, da wir dieses erst in der kommenden Woche besprechen.

Aufgabe:

Gegeben ist die Gerade g : \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \) + λ \( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3  \end{pmatrix} \), λ ∈ ℝ.
Nun sollen alle Punkte Pi ∈ g berechnet werden, die von dem durch λ = 2 bestimmten Punkt P0 den Abstand
d = 2\( \sqrt{11} \) haben.


Problem/Ansatz:

Das Lotfußpunktverfahren an sich glaube ich verstanden zu haben. In diesem Fall soll jetzt aber kein Abstand zu einem gegebenen Punkt ermittelt werden, sondern Punkt(e) mit einem gegebenen Abstand zu einem Punkt.

Ortsvektor: \( \begin{pmatrix} 2\\-4\\1 \end{pmatrix} \)

Richtungsvektor: \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\3 \end{pmatrix} \)

Parameter: λ

Der durch λ=2 bestimmte Punkt P0 müsste nach meinem Verständnis also dieser sein: 2 \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\3 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 2\\-2\\6 \end{pmatrix} \)

Man müsste das Lotfußpunktverfahren in diesem Fall sozusagen rückwärts durchführen und dabei mit dem gegebenen d = 2\( \sqrt{11} \) Abstand beginnen. Das ist allerdings der Punkt, an dem ich nicht mehr weiterkomme.

Der gegebene Abstand dürfte der Betrag bzw. die Länge des Verbindungsvektors zwischen dem Punkt P0 und der Gerade sein, aber wie kann ich damit nun arbeiten?

Hat jemand einen Tipp für mich oder bin ich hier völlig auf der falschen Fährte?

Viele Grüße
Philippus

vor von
Nun sollen wir die folgende Aufgabe lösen und dabei das Lotfußpunktverfahren anwenden.

Die Aufgabenstellung hat mit dem "Lotfußpunktverfahren" wohl nichts zu tun.

Guten Abend -Wolfgang-,

das ist mir im Nachhinein leider auch aufgefallen, allerdings war dann der Zeitraum zum nachträglichen Bearbeiten bereits abgelaufen. Ich war beim Schreiben der Frage auf dieses Verfahren fixiert und bin daher davon ausgegangen, dass es auf jeden Fall zum Lösen der Aufgabe notwendig ist. Letzteres ist, wie ich anhand der Antworten lernen konnte, nicht der Fall.

Vielleicht kann ein Moderator das Wort Lotfußpunktverfahren aus dem Titel entfernen.

Viele Grüße
Philippus

Habe die Überschrift geändert.

3 Antworten

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Beste Antwort

Die Länge vom richtungsvektor ist

|[1, -1, 3]| = √(1^2 + 1^2 + 3^2) = √11

Also 2 mal der Richtungsvektor hat eine Länge von 2√11 :)

Also

P = [2, -4, 1] + 2·[1, -1, 3] ± 2·[1, -1, 3]

P1 = [2, -4, 1]

P2 = [6, -8, 13]

Jetzt berechte mal zur Probe den Abstand von P1 und P2 zu P0.

vor von 332 k 🚀

Guten Abend Der_Mathecoach,

ganz vielen Dank für Deine Antwort!

Ich habe die Abstände P0P1 und P0P2 berechnet, aber irgendwo habe ich einen Fehler gemacht. Denn wenn ich es richtig verstanden habe, hätte ich hier ja 2\( \sqrt{11} \) erhalten müssen.

P0P1 = \( \begin{pmatrix} 2\\-4\\1 \end{pmatrix} \) - \( \begin{pmatrix} 2\\-2\\6 \end{pmatrix} \) 0 \( \begin{pmatrix} 0\\-2\\-2 \end{pmatrix} \)

|\( \vec{P0P1} \)| = \( \sqrt{29} \)

P0P2 = \( \begin{pmatrix} 6\\-8\\13 \end{pmatrix} \) - \( \begin{pmatrix} 2\\-2\\6 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 4\\-6\\7 \end{pmatrix} \)

|\( \vec{P0P2} \)| = \( \sqrt{101} \)

Kannst Du erkennen, wo mein Denkfehler liegt?

Viele Grüße
Philippus

Welches ist der Punkt P0. Das solltest du dir nochmals klar machen. Lies die Aufgabe nochmals durch.

Ich habe meinen Fehler entdeckt. Der Punkt P0 wird durch Einsetzen des Parameters λ = 2 in die Geradengleichung ermittelt:

P0 = \( \begin{pmatrix} 2\\-4\\1 \end{pmatrix} \) + 2 \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\3 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 4\\-6\\7 \end{pmatrix} \)

P0 = (4,-6,7)

Ich hatte den Parameter vorher nur in den Richtungsvektor und nicht in die gesamte Gleichung eingesetzt. Da lag mein Fehler und somit auch der Grund für die falschen Werte bei der Probe.

Mit dem korrekten P0 funktioniert es dann:

P0P= P- P0 = \( \begin{pmatrix} 2\\-2\\6 \end{pmatrix} \)

|P0P1| = \( \sqrt{ 2^{2} + (-2)^{2} + 6^{2} } \) = \( \sqrt{44} \) = 6,633249581

P0P2 = P2 - P0 = \( \begin{pmatrix} -2\\2\\-6 \end{pmatrix} \)

|P0P2| = \( \sqrt{ (-2)^{2} + 2^{2} + (-6)^{2} } \) = \( \sqrt{44} \) = 6,633249581

Die ermittelte \( \sqrt{44} \) = 6,633249581 ist gleich 2\( \sqrt{11} \) = 6,633249581, somit ist die Probe erfolgreich.

Jetzt müsste es stimmen, oder?

Viele Grüße
Philippus

Jetzt stimmts. Übrigens

√44 = √(4·11) = √4·√11 = 2·√11

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Für \( \lambda = 2 \) ergibt sich \( P_0 = \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 7 \end{pmatrix}\)

Es soll gelten $$ \left| P_0 - \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} - \mu \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \right| = 2\sqrt{11}  $$

Also \( \mu^2 - 4 \mu = 0 \) und deshal \( \mu_1 = 0 \) und \( \mu_2 = 4 \)

Daraus ergibit sich \( P_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \) und \( P_2 = \begin{pmatrix} 6 \\ -8 \\ 13 \end{pmatrix} \)

vor von 28 k

Guten Abend ullim,

vielen Dank für Deine Antwort! Ich habe Deinen Lösungsansatz vorhin nachvollzogen und erfolgreich die Probe durchgeführt. Vielen Dank noch einmal dafür!

Viele Grüße
Philippus

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1 Po(xo/yo/zo) berechnen

g: x=(2/-4/1)+r*(1/-1/3) mit r=2

x-Richtung: xo=2+2*1=4

y-Richtung:yo=-4+2*(-1)=-4-2=-6

z-Richtung: zo=1+2*3=7

Po(4/-6/7)

rechts und links von Po(4/-6/7) liegen 2 Punkte mit dem Abstand d=2*Wurzel(11)

mo=|1)=mx/|m|+my/|my|+mz/|m|

Betrag |m|=Wurzel(mx²+my²+mz²)=Wurzel(1²+(-1)²+3²)=Wurzel(11)

mox=1/Wurzel(11)

moy=-1/Wurzel(11)

moz=3/Wurzel(11)

mit x=po+r*(mox/moy/moz)  vom Punkt P0(...) sind es d=2-Wurzel(11)

d²=4*11=44=(r*mox)²+(r*moy)²+(r*moz)²=r²*mox²+r²*moy²+r²*moz²=r²*(....)

r²=44/(.....)

r,1,2=+/- Wurzel(44/(mox²+moy²+moz²)

r1,2=+/- ... weil hier 2 Punkte vorliegen,die sich auf der Geraden g: befinden und zwar rechts und links vom Punkt Po(4/-6/7)

prüfe auf Rechen- und Tippfehler und mach eine Proberechnunge,um das Ergebnis zu prüfen

vor von 3,1 k

Guten Abend fjf100,

vielen Dank für Deine Antwort! Ich habe Deinen Lösungsweg gerade nachvollzogen und auch hier erfolgreich die Probe gemacht.

Viele Grüße und ein schönes Wochenende,
Philippus

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