Wie bestimme ich die Nullstellen bei f(x) = x4 + 4x2 + 3 = 0?

Question

Aufgabe:

Wie bestimme ich die Nullstellen:

$f(x) = x^4 + 4x^2 + 3 = 0$

Problem/Ansatz:

Ich weiß, die Nullstellen sind komplex. Wie rechne ich da weiter? Hornerschema?

Comments

x² substituieren.

Answer 1

x⁴ + 4x² + 3 = 0

Subst x² = z

z² + 4z + 3 = 0

Satz von Vieta

(z + 3)(z + 1) = 0

z = -1 → x² = -1 --> x = -i ∨ x = i

z = -3 → x² = -3 --> x = - √3·i ∨ x = √3·i

Answer 2

x²= z

z² +4z+3 =0

Vieta:

(z+3)(z+1) =0

z1=-3

z2= -1

--> -3 = x² v -1 = x² → keine Lösung in ℝ

Es gibt nur komplexe Nullstellen.

Answer 3

Aloha :)

Für $x\in\mathbb R$ ist $x^4+4x^2+3\ge3$ . Daher können nur komplexe Nullstellen vorliegen. Wir sehen sofort, dass $3\cdot1=3$ und $3+1=4$ ist, sodass wir den Term wie folgt umschreiben können:

$$0=x^4+4x^2+3=(x^2+3)(x^2+1)=(x^2-3i^2)(x^2-i^2)$$$$\phantom{0}=(x-\sqrt3i)(x+\sqrt3i)(x-i)(x+i)$$Daraus lassen sich alle 4 Nullstellen ablesen.