Berechnen Sie die Länge der parametrisierten Kurve

Question

Ich soll die Länge der paramatrisierten Kurve $$c: [-1,6;1,1] \rightarrow \mathbb{R}^{3}$$ berechnen, wobei $$c(t)=\begin{pmatrix} cos(t)\\sin(t)\\\sqrt{8}*t \end{pmatrix}$$

Wie berechne ich es in R3?

Answer 1

Ansatz \(L(c)=\int_a^b |c'(t)| \ dt\).

Also ist zuerst \(c'(t)=\begin{pmatrix}-\sin(t)\\\cos(t)\\\sqrt{8} \end{pmatrix}\quad \\\Rightarrow |c'(t)|=\sqrt{(-\sin(t))^2+(\cos(t))^2+(\sqrt{8})^2}=\sqrt{\sin^2(t)+\cos^2(t)+8}=3.\)

Der Rest folgt automatisch.

Comments

Was hast du aber bei (t) eingesetzt, dass du dann auf 3 kamst? 

Und ich hätte noch eine weitere Frage

Wie berechnet man die betragsmäßige Krümmung der parametrisierten Kurve c?

Mir ist diese Aufgabe gegeben, auch in R3

$$c: [0,{\infty}] \rightarrow \mathbb{R}^{3}$$
$$c_{0}=\begin{pmatrix} cos(θ) & sin(t) \\ cos(θ) & cos(t)\\ sin(θ)\end{pmatrix}$$
 $$θ= 2,96 | t={\pi}$$

Wie müsste ich hier vorgehen?

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Da fehlt noch was bei deinem c_0.

Was hast du aber bei (t) eingesetzt, dass du dann auf 3 kamst?

Schau nochmal genau hin, was unter der Wurzel steht.

Wie berechnet man die betragsmäßige Krümmung der parametrisierten Kurve c?

Dafür gibt es eine einfache Formel, die ihr mit Sicherheit schon hattet:

$$ \kappa:=\frac{|c'\times c''|}{|c'|^3} $$.

Und wenn dich halt nur der Betrag davon interessiert, dann nimm halt den Betrag davon.

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Oh ups, ja es sollte eigentlich c_0(t) sein 

Habe Schwierigkeiten die Determinante auszurechen, wie müsste ich hier genau vorgehen?
So das ich die dann in die Formel einfügen kann   

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Habe Schwierigkeiten die Determinante auszurechen, wie müsste ich hier genau vorgehen?

Sorry, habe da die falsche Formel hingeschrieben. Du hast ja hier eine Raumkurve gegeben und keine planare Kurve. Habe die Formel geändert. Du musst einfach die Ableitungen der Funktion c dort einsetzen und dann einfach alles ausrechnen.

Answer 2

Meine Lösung ist ziemlich elementar-geometrisch:

Die parametrisierte Kurve ist eine Schraubenlinie, welche auf einer Zylinderfläche liegt, die man leicht in eine Ebene abwickeln kann. Die Länge des Kurvenstücks berechnet man dann nach Pythagoras:

c = √(a² + b²)

Dabei ist a = 2.7 und b = 2.7 · √(8)

Somit folgt  c = 3 · 2.7 = 8.1

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Und zur Kontrolle:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=arc+length+curve+%28cos%28t%29%2Csin%28t%29%2C+t*sqrt%288%29%2C+t+from+-1.6+to+1.1%29