Halbachsenlängen einer Ellipse berechnen?

Question

ich muss die Halbachsenlängen a und b dieser Ellipse herausfinden ell:x²/a² + y²/b²=1

Die Gerade berührt die Ellipse m Punkt .

Gerade t: y= -0,3x + 2,5

B(3;1,6)

Danke =)

Comments

Nur eine Bemerkung:

Man sollte jedenfalls nicht vergessen, nachzuprüfen, ob der Punkt B wirklich auf der (schon gegebenen) Tangente t liegt.

Answer 1

Löse die Ellipsengleichung nach y auf:

(1) y=f(x)=b/a·√(a²-x²)

Dann ist (2) f '(x)=-bx/a·√(a²-x²)

Setze P(3|1,6) in (1) ein und f '(3)=-0,3 in (2) ein.

Löse das System.

Comments

Danke für die Antwort

Könnten Sie mir aber bitte noch erklären, wie sie das auf y umgeformt haben, ich komme nämlich auf etwas anderes

Danke

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y²/b²=1-x²/a²

y²/b²=(a²-x²)/a²

y²=b²(a²-x²)/a²

y=f(x)=b/a·√(a²-x²)

Answer 2

Hallo,

Du kanst Dir die Umformungen sparen, wenn du direkt die Ellipsengleichung nach $x$ ableitest. Mit Ellipse $E$, Tangente $t$ und Punkt $B$ $$E: \quad \frac {x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\\ t: \quad y = -0,3x + 2,5 \\ B(3;1,6) = E \cap t$$und der Ableitung von $E$ nach $x$$$E': \quad \frac {2x}{a^2} + \frac{2yy'}{b^2} = 0$$setzt Du $x=3$, $y=1,6$ und $y'=-0,3$ in $E$ und $E'$ ein, dann erhältst Du ein lineares Gleichungssystem:$$\begin{aligned} \frac{3^2}{a^2} + \frac{1,6^2}{b^2} &= 1 \\ \frac {2 \cdot 3}{a^2} + \frac{2 \cdot 1,6 \cdot (-0,3)}{b^2} &= 0 \\ \begin{pmatrix} 9 & 2,56 \\ 6 & -0,96 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/a^2\\1/b^2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Wenn man nun zum 3-fachen der ersten Zeile das 8-fache der zweiten addierst, erhält man:$$\begin{aligned} (3 \cdot 9 + 8 \cdot 6)\frac 1{a^2} &= 3 \\ \frac{27 + 48}{3} &= a^2 \\ a^2 &= 25\end{aligned}$$ $b$ schaffst Du alleine ;-) und im Plot sieht das ganze so aus:

Plotlux öffnen

f₁(x) = -0,3x+2,5f₂(x) = 2·√(1-(x²/25))P(3|1,6)

Answer 3

Halbachsenlängen a und b dieser Ellipse herausfinden ell: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1$
Die Gerade berührt die Ellipse im Punkt $B(\red{3}|\blue{1,6})$
Gerade t: $y= -0,3x + 2,5$      $m=-0,3$

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1$

$f(x,y)=b^2x^2+a^2y^2-1$

$f_x(x,y)=2b^2x$           $f_x=6b^2$

$f_y(x,y)=2a^2y$           $f_y=3,2a^2$

$f´(3)=- \frac{6b^2}{3,2a^2}$

$-0,3=- \frac{6b^2}{3,2a^2}$         $0,3= \frac{6b^2}{3,2a^2}$             $b^2=0,16a^2$

$B(\red{3}|\blue{1,6})$  liegt auf  $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1$ →   $\frac{9}{a^2} + \frac{2,56}{0,16a^2}=1$

$a^2=25$      $b^2=4$

Halbachsenlängen:   $a=5$     $b=2$

Ellipse:    $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{4}=1$