Bestimmen Sie die (exakten) Winkel α,β,γ im Bogenmaß und berechnen Sie den Flächeninhalt von Δ

Question

(a) Nun wählen wir \( \Delta \) mit Seitenlängen
$$ a=\sqrt{3}, \quad b=2, \quad c=1 $$
Bestimmen Sie die (exakten) Winkel \( \alpha, \beta, \gamma \) im Bogenmaß und berechnen Sie den Flächeninhalt von \( \Delta \)

Answer 1

Hallo,

mache Dir eine genaue Zeichnung! Dort kannst Du die Ergebnisse unmittelbar ablesen:$$\alpha = \frac \pi 3, \quad \beta = \frac \pi 2, \quad \gamma = \frac \pi 6 \\ A_{\triangle } = \frac 12 \sqrt 3$$

Answer 2

Hier gilt a²+c²=b². Folglich ist β=π/2. tan^-1(√3)=π/3, also α=π/3. Und dann γ=π/6.

Fläche=a·c/2=(1·√3)/2.

Answer 3

Winkel mit dem Cosinussatz berechnen

siehe Mathe-Formelbuch,Geometrie,Schiefwinkliges Dreieck

Umrechnung von Grad in Bogenmaß

1° entspricht 2*pi/360°=0,01745..

(a) sind dann in Bogenmaß

phi=2*pi/360°*(a)  in rad (Radiant)

2) mit den errechneten Winkeln kannst du dann die Punkte C(cx/cy/cz) und B(bx/by/bz) berechnen

ein x-y-z-Koordinatensystem leigt du in den Punkt A(0/0/0)

hier ist die z-Komponete ja z=0

am einfachsten errechnet man dei Fläche über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

Fläche des Dreiecks Betrag |A|)=1/2*| c kreuz b|

Vektor c(0/1) und Vektor b(bx/by)=c(cx/cy)

C(cx/cy) mit Winkelfunktionen für das rechtwinklige Dreieck berechnen

sin(a)=Gk/Hy=h/b

cos(a)=Ak/Hy=Ak/b

tan(a)=Gk/Ak=h/Ak

oder Satz des Pythagoras c²=a²+b²

Comments

Winkel mit dem Cosinussatz berechnen

ich kann mich nur wiederholen: mache eine genaue Zeichnung, bzw. besser: konstruiere das Dreieck. Und bitte auf keinen Fall einen Taschenrechner bei der Seite \(a\) benutzen!

Das ist rudimentäre Geometrie.

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a=Wurzel(3) b=2 und c=1 weißt auf spezielle Winkelwerte hin,was aber in normalen Aufgaben nicht der Fall ist

Dies ist eine Standardvorgehensweise von mir und eine Flächenberechnung eines Dreiecks mit dem Vektorprodukt funktioniert immer.

Kann der Fragesteller ja selber ausprobieren.

Durchgerechnet,habe ich die Aufgabe nicht.

War mir zu viel Arbeit,die man mir nicht bezahlt.

Answer 4

Hallo schnuckimucki,

bei so einer Aufgabe würde ich erst einmal gucken, ob das Dreieck rechtwinklig ist. Da hilft der Satz des Pythagoras, bzw. seine Umkehrung. Erst einmal quadrieren:

$$a=\sqrt{3} \Rightarrow a^2=3\\  b=2 \Rightarrow b^2=4\\ c=1\Rightarrow c^2 =1$$

Oh, das sind ja ganz einfache Zahlen: 3+1=4 bzw. \(a^2+c^2=b^2\). Damit ist das Dreieck rechtwinklig mit a und c als Katheten und b als Hypotenuse.

Da die Hypotenuse gegenüber vom rechten Winkel liegt, muss \(\beta=90^\circ=\dfrac{\pi}{2}\) sein.

Um die anderen Winkel zu bestimmen, gucken wir uns die Seitenlängen an: Kathete c=1, Hypotenuse b=2.

Wie du bestimmt weißt, ist \(\sin30^\circ=\dfrac{1}{2}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\dfrac{c}{b}\) .

Da c gegenüber von\(\gamma\) liegt, ist \(\gamma=30^\circ=\dfrac{\pi}{6}\).

Mit der Winkelsumme im Dreieck erhältst du \(\alpha=60^\circ=\dfrac{\pi}{3}\).

Da ein rechtwinkliges Dreieck einem halben Rechteck entspricht, musst du für den Flächeninhalt die Kathetenlängen multiplizieren und durch 2 teilen.