Wie zeigt man, dass der Betrag des Skalarprodukts zweier normierter Vektoren kleiner gleich 1 ist?

Question

Aufgabe:

b) Zeigen Sie allgemein: Seien \( v, w \in V \) normiert, dann gilt \( |\langle v, w\rangle| \leqslant 1 \)

Hinweis: Zeigen Sie \( 1-\langle v, w\rangle^{2}=\langle v-\langle v, w\rangle w, v-\langle v, w\rangle w\rangle \) und nutzen dann die positive Definitheit des Skalarproduktes.

Problem/Ansatz:

Wie komme ich von 1- ⟨v,w⟩² auf ⟨v-⟨v,w⟩*w, v-⟨v,w⟩*w⟩?

Die 1 könnte man doch durch beispielsweise ||v||² oder ||v||²*||w||² ersetzen, da beide Vektore normiert sind. Aber wie geht man mit ⟨v,w⟩² um?

Comments

Ist das Skalarprodukt der Vektoren a und b nicht

a * b = |a| * |b| * cos(γ)

Bei Normierten Vektoren gilt |a| = |b| = 1 also

a * b = cos(γ)

Jetzt wäre doch offensichtlich das der Betrag von Skalarprodukt

|a * b| ≤ 1

sein muss.

Answer 1

Rechne einfach nach:

⟨v-⟨v,w⟩*w, v-⟨v,w⟩*w⟩

= <v,v> - <v,w>*<w,v> - <v,w>*<w,v> + <v,w>^2*<w,w>

wegen der Normierung ist <v,v>=1 und <w,w>=1

=1  - <v,w>*<w,v> - <v,w>*<w,v> + <v,w>^2

=1  - <v,w>^2 - <v,w>^2 + <v,w>^2   =  1  - <v,w>^2

Also ist 1  - <v,w>^2 das Skalarprodukt des Vektors v-⟨v,w⟩*w

mit sich selbst und wegen der pos. Definitheit also nicht negativ:

1  - <v,w>^2 ≥ 0

<=>  1   ≥ <v,w>^2

Und wenn das Quadrat kleiner gleich 1 ist,

dann auch der Betrag.

<=>   1   ≥ |<v,w>|