Differential berechnen und partielle Ableitungen?

Question

Ich habe eine Aufgabe die so lautet :

"Berechnen Sie den Differential von f : (x, y, z) ∈ R3 → (xz², cos z + e^y). Sei L_xo der Differential von f in x₀ = (1, 0, π). Welchen Wert hat L_x0(1, 2, 3π)?"

Problem/Ansatz:

ich bin ein bisschen unklar wie diese Aufgabe zu loesen ist. Was ist genau hier mit Differential gemeint. Soll ich die partielle Ableitungen nach x,y,z machen? Aber dann würde ich den Gradient erhalten,und wie kann ich dann diese Lx0(1, 2, 3π)?

Ich bedanke euch viel für irgendeine Hilfe,

LG

Answer 1

Aloha :)

Mit Differential ist im mehrdimensionalen Fall die Jacobi-Matrix $Df$ gemeint.

$$\vec f(\vec x)\approx\vec f(\vec x_0)+\mathbf Df\cdot\left(\vec x-\vec x_0\right)\quad;\quad Df=\left(\begin{array}{c}\partial_xf_x & \partial_yf_x & \partial_zf_x\\\partial_xf_y & \partial_yf_y & \partial_zf_y\end{array}\right)$$Die Jacobi-Matrix ist hier eine $2\times3$ Matrix, da die Funktion $\vec f:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$ abbildet. [Vielen Dank an Gast jc2144 für den Hinweis.]

Wegen $\vec f(x,y,z)=\binom{xz^2}{\cos z+e^y}$ finden wir damit als Differential:

$$Df=\left(\begin{array}{c}z^2 & 0 &2xz\\0 & e^y & -\sin z\end{array}\right)$$Speziell an den Stellen $(1,0,\pi)$ und $(1,2,3\pi)$ lautet es:

$$Df(1,0,\pi)=\left(\begin{array}{c}\pi^2 & 0 &2\pi\\0 & 1 & 0\end{array}\right)\quad;\quad Df(1,2,3\pi)=\left(\begin{array}{c}9\pi^2 & 0 &6\pi\\0 & e^2 & 0\end{array}\right)$$

Comments

Hallo Tschaka,

die Funktion f bildet nur von R³ -> R² ab. Die Jakobimatrix hat daher nur zwei Zeilen.

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danke für deine Antwort, es war sehr hilfreich.

die Funktion ist bei uns aber genau so gegeben.

Danke auch Gast jc2144!

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Hallo ihr beiden ;)

Dank des Hinweises von Gast jc2144 habe ich die Aufgabe nun auch richtig interpretiert und meine Antwort nochmal überarbeitet.

Stefan (aka Tschakabumba)