Wie viele Lose müsste man kaufen, um mit mindestens 50% mindestens einen Gewinn zu bekommen?

Question

Aufgabe: Von 100 Losen sind 3 Gewinne, die anderen sind Nieten. Wie viele Lose müsste man kaufen, um mit mindestens 50% mindestens einen Gewinn zu bekommen?

Problem/Ansatz:

Mir ist bewusst das es sich um eine 3 mal mindestens Aufgabe handelt
Das Vorgehen mit:

n >= ln(1-a) / ln(1-p)

a ist die Mindestwahrscheinichkeit, p die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer

 ist mir bekannt.

Jedoch scheint es sich dabei ja nur um Aufgabenstellungen mit Zurücklegen zu handeln. Beim Loseziehen wird aber nicht zurückgelegt. Ändert das etwas an der Rechnung und wenn ja was genau?

Answer 1

Aloha :)

Hier geht es um eine Aufgabe ohne Zurücklegen. Daher muss gelten:$$1-\frac{\binom{3}{0}\binom{97}{n}}{\binom{100}{n}}\ge0,5$$$$-\frac{97!}{n!(97-n)!}\cdot\frac{n!(100-n)!}{100!}\ge-0,5$$$$\frac{(100-n)(99-n)(98-n)}{100\cdot99\cdot98}\le0,5$$$$(100-n)(99-n)(98-n)\le\frac{1}{2}\cdot100\cdot99\cdot100$$Wir müssen mit der Wahl von \(n\) die linke Seite gegenüber der rechten Seite halbieren. Wegen \(\sqrt[3]{1/2}\approx0,79\) müssen wir jeden Faktor links auf etwa \(79\%\) seines Wertes drücken. Wir probieren daher \(n=20\) und \(n=21\) aus und finden:$$n\ge21$$

Comments

Hallo, könntest du mir erklären, was es mit deiner ersten Zeile auf sich hat?

1 - (Gegenwahrscheinlichkeit?) >= 0,5

Richtig?

Gibt es eine einfache Erklärung für dieses hier: 3 über 0 * 97 über n / 100 über n? Und gibt es dafür eine bestimmte Bezeichnung?

Heißt dass das oben erwähnte:

Faustregel: Wenn der Auswahlsatz n/N <= 0,05, d.h. kleiner oder gleich 5% ist, lässt sich die Wahrscheinlichkeit bei Zufallsexperimenten mit  Ziehen ohne Zurücklegen approximativ mit der einfacher handhaberen Binomialverteilung berechnen

gilt nicht?

Vielen Dank für die Antwort

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Ja genau, 1-Gegenwahrscheinlichkeit>=0,5. Das ist der Ansatz. Der Bruch kommt wie folgt zustande. Von den 3 Gewinnen müssen 0 gezogen werden, dafür gibt es \(\binom{3}{0}\) Möglichkeiten. Von den 97 Nieten müssen \(n\) gezogen werden, dafür gibt es \(\binom{97}{n}\) Möglichkeiten. Das sind \(\binom{3}{0}\cdot\binom{97}{n}\) Möglichkeiten, keinen Gewinn zu ziehen. Das muss dividiert werden durch die Anzahl der Möglichkeiten, aus 100 Losen n zu ziehen, also durch \(\binom{100}{n}\).

Das exakte Ergebnis ist \(n\ge21\), eigentlich liegt \(n\) sogar nur knapp über \(20\). Das weicht um 10% von der Näherung \(n\ge23\) ab. Entscheide bitte selbst, ob das eine gute Näherung ist.

Answer 2

p= 3/100

1-(97/100)^n >=0,5

n>= ln0,5/ln0,97

n= 23

Hier kann man mit der Binomialverteilung annähern, da p< =0,05

Faustregel:Wenn der Auswahlsatz n/N <= 0,05, d.h. kleiner oder gleich 5% ist, lässt sich die Wahrscheinlichkeit bei Zufallsexperimenten mit  Ziehen ohne Zurücklegenappro-ximativmit der einfacher handhaberen Binomialverteilungberechnen

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Das Ergebnis hatte ich auch, das nicht Zurücklegen hat mich nur verunsichert.

Vielen Dank für die Erklärung

Answer 3

gelöscht. fülltext.fülltext.

Comments

Bei 21 Ziehungen ist die Wahrscheinlichkeit
einen Gewinn zu ziehen bei 51.1 %.

Soweit meine Berechnungen.