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Aufgabe: Das Controlling hat herausgefunden, dass die Erlössituation annähernd durch die Erlösfunktion

 E(x)= -14x²+ 196x  modelliert werden kann.

Bestimmen Sie den maximalen Erlös.


Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich das rechnen soll. Ist jemand so lieb und kann mit helfen?

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Aloha :)

Du kannst das Maximum auf zwei Arten bestimmen:

Methode 1: Parabel ins Scheitelpunktform angeben:

Du kannst die Erlösfunktion wie folgt umschreiben:$$E(x)=-14x^2+196x=-14(x^2-14x)=-14(x^2-\overbrace{2\cdot7}^{=14}x+\overbrace{7^2-7^2}^{=0})$$$$\phantom{E(x)}=-14(x^2-2\cdot7x+7^2)+14\cdot7^2=-14(x-7)^2+686$$Die Funktion \(E(x)\) ist dann am größten, wenn von \(686\) am wenigsten abgezogen wird, wenn also das Quadrat \(=0\) ist. Daher gilt:$$E_{\text{max}}=686$$Methode 2: Mit der Differentialrechnung:

Mögliche Kandidaten für Extremwerte sind an den Stellen, wo die erste Ableitung \(=0\) wird:$$0\stackrel{!}{=}E'(x)=-28x+196\quad\Rightarrow\quad x=7$$$$E(7)=686$$

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E(x) = -14x²+ 196x = -14·x·(x - 14)

Wie man sieht liegen die Nullstellen bei 0 und 14. Genau in der Mitte ist der Scheitelpunkt

E(7) = -14·7·(7 - 14) = 686 GE

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E '(x) =0

-28x+196 =0

x= 7

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