Orthogonalbasis bzgl. Bilinearform bestimmen

Question

Aufgabe:

Gebe eine Orthogonalbasis im ℝ⁴ bzgl. der Bilinearform s mit

^{s (\( \begin{pmatrix} a\\b\\c\\d \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} A\\B\\C\\ D\end{pmatrix} \)) =aD+bC+cB+dA an. Geben Sie ferner den Index von s an.} 

wie könnte dies ermittelt werden?

Answer 1

Hallo alena,

bestimme zuerst die Darstellungsmatrix von s bezüglich der Standardbasis \( E = (e_1,...,e_4) \):

$$ M_E(s) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0 \end{pmatrix} $$

Diese ist symmetrisch, also kann man nach dem sylvesterschen Trägheitssatz eine Basiswechselmatrix \( T \) mit \( T^T M_E(s) T = D \) bestimmen, wobei \( D \) eine Diagonalmatrix ist. Das macht man mit simultanen Zeilen- und Spaltenmformungen:

1. Man schreibt sich die Matrix und daneben die Einheitsmatrix hin:

$$ \left. \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0 \end{matrix} ~\middle|~ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{matrix} \right. $$

2. Jetzt bringt man die linke Seite auf Diagonalgestalt. Dazu verwendet man elementare Zeilenumformungen in beiden Blöcken, und führt anschließend die dazu entsprechende Spaltenumformung nur im linken Block aus. Addiert man z.B. das 5 fache der 2. Zeile auf die 3. Zeile muss man anschließend auch das 5 fache der 2. Spalte auf die 3. Spalte addieren

Addition der 4. Zeile auf die 1.Zeile (in beiden Blöcken!) liefert:

$$ \left. \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0 \end{matrix} ~\middle|~ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 1\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{matrix} \right. $$

Anschließend muss man jetzt die 4. Spalte auf die 1. Spalte addieren, aber nur links:

$$ \left. \begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0 \end{matrix} ~\middle|~ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 1\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{matrix} \right. $$

So jetzt addieren wir -1/2 mal die 1 Zeile auf die 4. Zeile:

$$ \left. \begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&-\frac{1}{2} \end{matrix} ~\middle|~ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 1\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-\frac{1}{2}&0&0&\frac{1}{2}\end{matrix} \right. $$

Jetzt -1/2 mal die 1. Spalte auf die 4. Spalte, aber nur im linken Block:

$$ \left. \begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&-\frac{1}{2} \end{matrix} ~\middle|~ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 1\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-\frac{1}{2}&0&0&\frac{1}{2}\end{matrix} \right. $$

usw. es kommt raus:

$$ \left. \underbrace{\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0\\0&2&0&0\\0&0&-\frac{1}{2} &0\\0&0&0&-\frac{1}{2} \end{matrix}}_{= D} ~\middle|~ \underbrace{\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 1\\0&1&1&0\\0&-\frac{1}{2} &\frac{1}{2(} &0\\-\frac{1}{2}&0&0&\frac{1}{2}\end{matrix}}_{= T^T} \right. $$

Links steht jetzt \( D \) und rechts \( T^T \) (Vorsicht: nicht \( T \) !).

3. In den Spalten von \( T \) , also in den Zeilen von \( T^T \) steht jetzt eine Orthogonalbasis bzgl. \( s \).

Außerdem kann man an \( D \) den Index von \( s \) ablesen. Man zählt dazu die positiven, negativen und Nulleinträge: (2,2,0).

Comments

Danke für die super Erklärung. Aber was meinst du mit dem Index?

Bei der Matrix D gibt es 2 positive zwei mal die 2

Dann zwei negative 2 mal -1/2

Und von denn Nullen gibt es doch 12 Stück

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Oh, man zählt natürlich nur die Einträge auf der Diagonalen :D

Da sind hier 2 positiv, 2 negativ und 0 Null. Den (Trägheits) Index kenne ich jetzt als Tripel (positive Einträge, negative Einträge, Nulleinträge), das wäre dann (2,2,0).

vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Signatur_(Lineare_Algebra)

(Du bekommst die Form mit \( \pm1\), wenn du die Zeilen und anschließend die Spalten durch die Wurzel des Betrags des Diagonalenelements teilst:

Beispiel erste Zeile:

$$ \left. \begin{matrix} \sqrt{2} & 0 & 0 & 0\\0&2&0&0\\0&0&-\frac{1}{2} &0\\0&0&0&-\frac{1}{2} \end{matrix} ~\middle|~\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\0&1&1&0\\0&-\frac{1}{2} &\frac{1}{2} &0\\-\frac{1}{2}&0&0&\frac{1}{2}\end{matrix} \right. $$

$$ \left. \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\0&2&0&0\\0&0&-\frac{1}{2} &0\\0&0&0&-\frac{1}{2} \end{matrix} ~\middle|~\begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2}\\0&1&1&0\\0&-\frac{1}{2} &\frac{1}{2} &0\\-\frac{1}{2}&0&0&\frac{1}{2}\end{matrix} \right. $$

Beispiel dritte Zeile:

$$ \left. \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\0&2&0&0\\0&0&-\frac{1}{\sqrt{2}} &0\\0&0&0&-\frac{1}{2} \end{matrix} ~\middle|~\begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2}\\0&1&1&0\\0&-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}} &0\\-\frac{1}{2}&0&0&\frac{1}{2}\end{matrix} \right. $$

$$ \left. \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\0&2&0&0\\0&0&1 &0\\0&0&0&-\frac{1}{2} \end{matrix} ~\middle|~\begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2}\\0&1&1&0\\0&-1&1 &0\\-\frac{1}{2}&0&0&\frac{1}{2}\end{matrix} \right. $$

etc... Wie du vielleicht siehst wird aus positiven Zahlen eine 1 und aus negativen Zahlen eine -1, 0 würde 0 bleiben.)

Aber vielleicht habt ihr den auch anders definiert? Schau das am Besten nochmal in deinen Vorlesungsunterlagen nach.

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kann man das auch mit dem gram-Schmidt verfahren lösen und wenn ja, wie würde man da vorgehen, um die orthogonalbasis zu bestimmen ?

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Gram Schmidt ist hier nicht so geeignet, es ist nur eine symmetrische Bilinearform - kein Skalarprodukt - gegeben. Im Verfahren teilt man ja öfters durch Skalare der Form <v, v> die können hier aber auch =0 sein.