Berechnen Sie auf dem direkten Wege über den Differenzenquotienten die Ableitung der Funktion

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie auf dem direkten Wege über den Differenzenquotienten die Ableitung der Funktion  ƒ(x) = x³  

a) an der Stelle x₀ = 1

Problem/Ansatz:

-Also ich habe die Aufgabe gemacht aber ich habe nicht verstanden warum die Antwort ist nur  3  ?

P.S (Antwort  3 ist aus dem Buch , ich lerne Mathe und Thema Differentialrechnung im selbst Studium)

-Können Sie bitte das ausführlich erklären? 

Meine Lösung : 

\( \frac{Δy}{Δx} \)  = \( \frac{f(x+Δx)-f(x)}{Δx} \) = .... =  3+ 3 Δx + Δx²

Ableitung:  f' (1) = \( \lim\limits_{x\to0} \)  \( \frac{Δy}{Δx} \) = lim (3+ 3 Δx + Δx² )'  = 3 ? 

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

LG

Answer 1

$$  f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ (x+\Delta x)^3 - x^3 }{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (3x^2 +3x \Delta x + \Delta x^2) = 3x^2 $$

Also $$ f'(1) = 3  $$

Comments

Vielen Dank für die Antwort!

Also ich musste einfach 1 in x² einsetzen

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Nein, \( 1 \) in \( x \) einsetzten.

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Gut, jetzt verstehe ich  worum es  geht :D

Answer 2

f ( x ) = x³ 
x1 = x + h
x2 = x

Steigung = [ f ( x1 ) - f ( x2 ) ] / [ x1 - x2 ]
[ ( x + h ) ³ - ( x ) ³ ] / [ x + h - x ]
[ x³ + 3 hx² + 3 xh² + h³ - x³ ] / h
( 3 hx² + 3 xh² + h³ ) / h
3 x² + 3 xh + h²
Noch sind wir bei Differenzenquotienten da h noch vorkommt
Erst wenn h gegen 0 geht wird daraus der Differential-
quotient der die Steigung an einer Stelle beschreibt
lim h -> 0 [  3 x² + 3 xh + h² ] = 3 x²
f ´( x ) = 3 * x²
a.)
f´( 1 ) = 3

Comments

Vielen Dank! Sehr ausführlich und verständlich

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Gern geschehen.