Wie kann ich das Anfangswertproblem lösen?

Question

Hallo, ich sitze jetzt schon etwas länger daran, dieses Anfangswert durch Separation zu lösen, aber komme einfach nicht weiter.

$y^{\prime}(x)=(y(x)+x)^{2}-1, \quad y(0)=1$

Ich weiß vor allem nicht, wie ich die "-1" am Ende wegbekommen soll... Bzw. wenn ich substituieren sollte, was genau ich substituieren muss.

Könntet ihr mir vielleicht helfen?

Comments

Probier es mal mit u = y+x ;).

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okay danke, ich versuche es mal:)

Answer 1

Hallo,

z=x+y

y=z-x

y'=z'-1

in die DGL eingesetzt:

z'-1 =z² -1

z' =z²

dz/dx=z²

dz/z²= dx

-1/z= x+c

z=(-1)/(x+c)

Rücksubstitution: z=x+y

x+y=(-1)/(x+c)

y= -x - 1/(x+c)

mit AWB: y(0)=1

1=-1/c ------->c= -1

y= -x - 1/(x-1)

Comments

vielen, vielen Dank für die Mühe und die gute Antwort:)

Answer 2

Aloha :)

$$\left.y'=(y+x)^2-1\quad\right|\;+1$$$$\left.y'+1=(y+x)^2\quad\right|\;(y+x)'=y'+1$$$$\left.(y+x)'=(y+x)^2\quad\right|\;:(y+x)^2$$$$\left.\frac{(y+x)'}{(y+x)^2}=1\quad\right|\;\int\frac{z'}{z^2}dz=-\frac{1}{z}+c$$$$\left.-\frac{1}{y+x}+c=x\quad\right|\;y(0)=1\;\Rightarrow\;-\frac{1}{1+0}+c=0\;\Rightarrow\;c=1$$$$\left.-\frac{1}{y+x}+1=x\quad\right|\;-1$$$$\left.-\frac{1}{y+x}=x-1\quad\right|\;\text{Kehrwerte}$$$$\left.-(y+x)=\frac{1}{x-1}\quad\right|\;\cdot(-1)$$$$\left.y+x=-\frac{1}{x-1}\quad\right|\;-x$$$$\left.y=-x-\frac{1}{x-1}\quad\right.$$