g(x) = { (x² + 2x) / [ (x(x+1)2(x-1) ] } Grenzwert gegen 0, 1, -1, -2, ∞, -∞ berechnen

Question

g(x) = { (x² + 2x) / [ (x(x+1)²(x-1) ] }

Für die Funktion soll ich die Grenzwerte berechnen, die gegen:

x→0, x→1, x→-1, x→-2, x→∞, x→-∞ streben.

Ansatz:

Da die Lösung gegeben ist, weiß ich dass:

Den Grenzwerte gegen x→∞ und x→-∞ berechne ich wie gewohnt mit den Grenzwertrechenregeln (Grenzwert = 0).

Den Grenzwert gegen x→0 berechne ich durch das Einsetzen der 0 in den Limes der Funktion (Grenzwert = -2).

Den Grenzwert gegen x→-2 berechne ich ebenfalls durch das Einsetzen der -2 in die Funktion (Grenzwert = 0).

Warum darf ich bei x→1 (Grenzwert = ∞) und x→-1 (Grenzwert = -∞) nicht einsetzen und warum sind sie divergent?

Answer 1

Für $x=0$ bekommst du einen unbestimmten Ausdruck der Form $\frac{0}{0}$. Du kannst nun L'Hospital anwenden.

Bei $x=\pm 1$ wirst du mit L'Hospital nicht weiterkommen, also nicht auf einen endlichen Grenzwert stoßen.