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Aufgabe:

Bestimme alle Lösungen zum folgenden linearen Gleichungssystem.

Ax = y , wobei x und y Vektoren sind (Also mit einem Pfeil über sich)

A:

241/2-3
0-123/2
614-5/2-12


y:

-5
3
21


Mein Ansatz:

Wie gehe ich hier vor? Mir ist bekannt, dass man lin. Gleichungssysteme zB mit dem Stufenverfahren löst. Jetzt haben wir aber einen komplett unbekannten Vektor (x) zusätzlich.

Ich stehe etwas auf dem Schlauch!


Danke für eure Tipps!

von

So wie es oben steht, gibt es gar keine Lösung. $$\begin{pmatrix}2& 4& 0.5& -3\\ 0& -1& 2& 1.5\\ 6& 14& -2.5& -12\end{pmatrix} \cdot x = \begin{pmatrix}-5\\ 3\\ 21\end{pmatrix}$$Stimmen die Zahlen?

Jetzt haben wir aber einen komplett unbekannten Vektor (x) zusätzlich

.. sonst wäre es auch kein lineares Gleichungssystem ;-)

Alle vier Spaltenvektoren liegen in einer Ebene (grün) und der Y-Vektor liegt außerhalb dieser Ebene:

blob.png

folglich gibt es keine Linearkombination \(x\) der Spaltenvektoren, die zu \(y\) führt.

$$y= \begin{pmatrix}-5\\ 3\\ \colorbox{#ffff00}{-}21\end{pmatrix}$$würde passen!

Die 21 soll zu einer -21 gemacht werden, genau! Da war ich etwas zu schnell...

2 Antworten

+1 Daumen

Hallo,

Dein Gleichungssystem lautet also$$\begin{pmatrix}2& 4& 0.5& -3\\ 0& -1& 2& 1.5\\ 6& 14& -2.5& -12\end{pmatrix} \cdot x = \begin{pmatrix}-5\\ 3\\ -21\end{pmatrix}$$jetzt geht man ganz normal nach Gauß vor. Hier z.B. die erste Zeile durch 2 dividieren und das sechsfache der ersten von der dritten abziehen. Die zweite Zeile kann man schon mal mit -1 multiplizieren, so dass vorn eine 1 steht. Gibt folgende Zahlen:$$\begin{array}{cccc|c}1& 2& 0.25& -1.5& -2.5\\ 0& 1& -2& -1.5& -3\\ 0& 2& -4& -3& -6\end{array}$$Jetzt ziehe ich noch das doppelte der zweiten Zeile von der ersten und von der dritten ab:$$\begin{array}{cccc|c}1& 0& 4.25& 1.5& 3.5\\ 0& 1& -2& -1.5& -3\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}$$und die dritte Zeile enthält nur noch 0'en. D.h. egal was man da für \(x\) einsetzt, die dritte Zeile ist immer erfüllt. Und das macht auch Sinn, da die Spaltenvektoren in einer Ebene liegen (s. Kommentar oben).

Ist \(x = \begin{pmatrix}x_1& x_2& x_3& x_4\end{pmatrix}^T\) so steht da jetzt:$$\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}x_1 + \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}x_2 + \begin{pmatrix}4.25\\ -2\\ 0\end{pmatrix} x_3 + \begin{pmatrix}1.5\\ -1.5\\ 0\end{pmatrix} x_4 = \begin{pmatrix}3.5\\ -3\\ 0\end{pmatrix}$$Im Grunde kann man die dritte Zeile auch weglassen, da sie keinerlei Aussagekraft hat. Dann bleiben zwei Gleichungen mit 4 Unbekannten. Man kann also zwei davon frei wählen. ich setze \(x_3=r\) und \(x_4\) = s. Und löse nun nach den \(x_i\) auf:$$\begin{aligned} x_1 &= 3,5 - 4,25 r + 1,5s \\ x_2 &= -3 + 2r + 1,5 x_4 \\ x_3 &= r \\ x_4 &= s\end{aligned}$$bzw. in Vektorschreibweise$$\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{pmatrix} = x = \begin{pmatrix}3.5\\ -3\\ 0\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-4.25\\ 2\\ 1\\ 0\end{pmatrix}r + \begin{pmatrix}-1.5\\ 1.5\\ 0\\ 1\end{pmatrix}s, \quad r,s \in \mathbb R$$was die Lösung für den Vektor \(x\) ist.

Zur Kontrolle kannst Du folgende Matrixmultiplikation durchführen:$$\begin{pmatrix}2& 4& 0.5& -3\\ 0& -1& 2& 1.5\\ 6& 14& -2.5& -12\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}3.5& -4.25& -1.5\\ -3& 2& 1.5\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y& \underline 0& \underline 0\end{pmatrix}$$die erste Spalte ergibt wieder das \(y\) und die weiteren Spalten müssen den 0-Vektor ergeben, dann ist das Ergebnis korrekt.

von 45 k
0 Daumen

Hallo

den Vektor x =(x1,x2,x3,x4) sollst du doch bestimmen, sicher ist er unbekannt, wenn du deine Matrix mit x multiplizieren. steht in der ersten Zeile  2*x1+4*x2+0,5*x3-3*x4=-5 entsprechend die 2 anderen.

bei dem auf Dreiecksform bringen lässt man die x_i weg, da man ja weiss wo sie stehen.

(du hast 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten also kannst du mindestens eine frei wählen., hast also mindestens 2 Lösungsvektoren.

Gruß lul

von 93 k 🚀

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