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Aufgabe:

Die Punkte aus dem dreidimensionalen Koordinatensystem werden durch eine Projektion in die x1x2-Ebene in ein zweidimensionales Koordinatensystem überführt. Aus dem Punkt P(2,4,6) wird dabei der Punkt P'(8,16). Geben Sie die dazugehörige Abbildungsmatrix T an.


Problem/Ansatz:

Zuallererst habe ich den Punkt P auf die x1x2 Ebene abgebildet. Der Punkt lautet dann (2,4,0), aber wie kann ich diesen Punkt jetzt ins zweidimensionale Koordinatensystem abbilden?

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Hallo nike,

die Frage ist doch: wo sollen Punkte abgebildet werden, die sich bereits in der \(x_1x_2\)-Ebene befinden? Ich postuliere mal, doch bitte genau da wo sie schon sind. Also ohne jede Verschiebung.

\(T\) ist eine 2x3-Matrix und wenn ein Punkt \(Q\) mit \(x_3=0\) seine Position beibehalten soll, so muss das 'vordere Quadrat' der Matrix doch die Einheitsmatrix sein. Und die letzte Spalte berechnet sich aus der Vorgabe: \(P(2,4,6) \to P'(8,16)\): $$\begin{aligned}T &= \begin{pmatrix}1& 0& a_{13}\\ 0& 1& a_{23}\end{pmatrix} \\ P' &= T \cdot P \\ \begin{pmatrix}8\\ 16\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}1& 0& a_{13}\\ 0& 1& a_{23}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2\\ 4\\ 6\end{pmatrix} \\ \implies a_{13} &= 1, \quad a_{23} = 2 \\ T&= \begin{pmatrix}1& 0& 1\\ 0& 1& 2\end{pmatrix} \end{aligned}$$

von 45 k

Ich danke Ihnen für Ihre Hilfe! Nur ich verstehe nicht ganz wieso die erste und zweite Spalte Einheitsmatrizen sein müssen. :/

Nur ich verstehe nicht ganz wieso die erste und zweite Spalte Einheitsmatrizen sein müssen. :/

Nehme einen Punkt \(Q=(u,v,0)\), der bereits in der \(x_1x_2\)-Ebene liegt. Die Forderung soll sein, dass dieser Punkt nach der Transformation an diesen Koordinaten liegen bleibt - also soll \(Q'\equiv Q\) sein$$Q' = \begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u \\ v\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}u \\ v\end{pmatrix} \\ u= a_{11}u + a_{12}v \\ v = a_{21} u + a_{22} v$$wie müssen die vier Koeffizienten \(a_{ij}\) beschaffen sein, dass obige zwei Gleichungen immer(!) erfüllt sind; egal welche Werte man für \(u\) und \(v\) einsetzt?

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Deine Abbildung von P(2,4,6) auf P'(2,4,0) ist von dir frei erfunden. P(2,4,6) soll auf P'(8,16,0) abgebildet werden.

von 113 k 🚀
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Die Projektion ist keine orthogonale Projektion, sondern es wird schräg projiziert.

Also ( Kannst dir einen Lichtstrahl von P nach P' vorstellen.) wird P

längs der Geraden

$$\vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\4\\6 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 6\\12\\-6 \end{pmatrix}$$

oder auch $$\vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\4\\6 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \end{pmatrix}$$

projiziert. D.h. du musst bei jedem Punkt, den du projizieren willst den Richtungsvektor dransetzen

und schauen, wie weit du in die Richtung gehen musst, um auf die xy-Ebene zu kommen.

Für die ersten beiden kanonischen Einheitsvektoren ist das kein Problen, die liegen

ja schon in der xy-Ebene und für den 3. betrachte

$$\vec{x}=\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \end{pmatrix}$$

und für t=1 erhältst du das Bild (1;2;0).

Also ist die Matrix (in den Spalten stehen die Bilder der Basisvektoren.)

$$\begin{pmatrix} 1 & 0&1 \\  0 & 1 &2 \\0 & 0&0 \end{pmatrix}$$

von 271 k 🚀

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