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Aufgabe:

a, z2 = −9

b, z3 = 8i

c, z2 = 1 + i


Problem/Ansatz:

!

Ich soll diese Gleichungen unter Zuhilfenahme von z = re lösen.

Ich habe dazu auch die Lösungen, verstehe aber manche Schritte nicht!


a, z2 = −9 = ( re )2 = r2e2iφ    

    r = \( \sqrt{ 9 } \)  = 3

    Soweit verstehe ich den Ansatz, aber da ab dann nicht mehr.

    e2iφ = -1 = e

    => φ1 = \( \frac{π}{2} \)  und  φ2 = \( \frac{3π}{2} \)

    Könnte mir das bitte jemand erklären?

von

2 Antworten

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Beste Antwort

r^2*e^(2iφ)  = -9

wird aufgeteilt in r^2 = 9 und     e^(2iφ)  = -1 = -1 + i*0

Und jetzt weiß man halt wegen    e^(iφ) = cos( φ) + i* sin(φ)

dass man für 2φ einen Wert  wählen muss ,

bei dem cos(φ)=-1 und sin(φ)) =0 ist. Das ist bei 2φ=pi der Fall,

also φ=pi/2 und bei 2φ=pi +2pi also  φ=3pi/2 .

Bei  z^3 = 8i ist es ähnlich.

Hier hast du r=8 und   e^(3iφ)  = i = 0 + 1*i

Also brauchst du jetzt einen Wert für 3φ bei dem

cos = 0 und sin = 1 ist.

Das wäre zunächst 3φ = pi/2 ==>   φ= pi/6

und dann noch 2 weitere (Es gibt ja 3 mal die 3. Wurzel.)

 3φ = pi/2+2pi und  3φ = pi/2 + 4pi

also φ=5pi/6  und φ=9pi/6

von 271 k 🚀
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Hallo

z=-9 liegt auf der negativen x. Achse, hat also zur positiven x- Achse den Winkel 180° bzw. π

also ist z^2=3^2*e, und deshalb z=(3^2*e)1/2=3*eiπ/2

Gruß lul

von 93 k 🚀

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