Zeigen Sie, dass \lambda ein Eigenwert von M ist.

Question

Seien a, b, c ∈ ℝ und sei

$M:=\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\ c & a & b \\ b & a & c\end{array}\right)$

sowie: λ:= a + b + c.

Zeigen Sie, dass λ ein Eigenwert von M ist.

Hat vielleicht jemand eine Idee?

Answer 1

Aloha :)

Wenn die Summe von allen Spalten oder allen Zeilen gleich ist, ist diese Summe ein Eigenwert und der Eigenvektor besteht aus lauter 1en:$$\begin{pmatrix}a & b & c\\c & a & b\\b & a & c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+b+c\\c+a+b\\b+a+c\end{pmatrix}=(a+b+c)\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$Offensichtlich ist gemäß der Definition $(a+b+c)$ Eigenwert mit Eigenvektor $(1|1|1)$.