Wie löst man ein Anfangswertproblem?

Question

nachfolgend meine Aufgabe:

Sei G eine Gruppe von Menschen gleichen Alters, die zum Zeitpunkt $t_{0}=0$ aus $N_{0}$ Mitgliedern besteht. $N(t)$ bedeutet die Zahl der zum Zeitpunkt $t$ noch lebenden Mitglieder von $G .$ Von Kriegen und Katastrophen sehen wir ab, die Gruppe soll also nur , natürlichen Todesursachen " ausgesetzt sein. Man könnte also $-\dot{N}(t)$ als Absterbegeschwindigkeit und
$$\alpha(t):=-\frac{\dot{N}(t)}{N(t)}$$
also durchschnittliche Absterbegeschwindigkeit zur Zeit $t$ bezeichnen (in der Versicherungmathematik heißt $\alpha(t) \text { "Sterbeintensität" }) . \alpha(t)$ kann man auch als Maß für die
durchschnittliche Hinfalligkeit der Gruppenmitglieder zur Zeit $t$ interpretieren, die leider stärker wächst, je gröBer sie schon ist. Es gilt also für ein $\mu>0$
$$\dot{\alpha}(t)=\mu \alpha(t) \quad \text { mit Anfangswert } \quad \alpha(0)=\lambda<\mu$$


Meine Aufgabe ist es nun das Anfangswertproblem  $$\dot{\alpha}(t)=\mu \alpha(t) \$$ für alpha(t) zu lösen. Weiter soll ich dann das sich daraus mit $$\alpha(t):=-\frac{\dot{N}(t)}{N(t)}$$

ergebende AWP zum Anfangswert N(0) = N_0 lösen.

Über eure Hilfe, freue ich mich!

Answer 1

Hallo

die einzige funktion deren Ableitung wieder die funktion (bis auf eine Konstante ist ist die E funktion. deshalb hat man α(t)=C* e^t mit α(0)=λ folgt C=λ

damit hast du N'(t)=-λ*e^t*N(t) eine einfache Dgl , die man durch Trennung der Variablen lösen kann: dN/N=-e^t dt integrieren, die Integrationskoonstante durch einsetzen von N(0) bestimmen.

Gruß lul

Comments

Hallo lul,


Du hast geschrieben: α(t)=C* e^t, müsste es aber nicht: $$\alpha(t)=ce^{\mu t}$$ sein?

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Hallo

du hast recht, der editor hat das μ geschluckt, und ich hab leider die Vorschau nicht beachtet, (obwohl ich das jedem sage, shame on me)

gut dass du aufpasst

lul