Bestimmen Sie die darstellende Matrix der orthogonalen Projektion p: ℝ³ → ℝ³ auf Bild A

Question

Aufgabe:

Darstellende Matrix und orthogonale Projektionen

Gegeben ist die Matrix \( A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1\end{array}\right) \)

a) Bestimmen Sie die darstellende Matrix der orthogonalen Projektion \( p: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) auf Bild \( (A) \) bzgl. der Standardbasis \( \left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\} \)

b) Bestimmen Sie die darstellende Matrix der orthogonalen Projektion \( p: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) auf \( \operatorname{Ker}(A)^{\perp} \) bzgl. der Standardbasis \( \left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\} \)

Answer 1

rang(A)=2 also bilden z.B.

$$\begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}$$

eine Basis von Bild (A).

Jetzt brauchst du die Bilder der Basisvektoren bei der Projektion auf den durch diese beiden aufgespannten Raum. Ich bekomme z. B.

$$p(\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix})==\begin{pmatrix} \frac{2}{3}\\\frac{-1}{3}\\\frac{1}{3} \end{pmatrix}$$

Damit hast du schon die erste Spalte der gesuchten Matrix. Mit den Bildern

von e₂ und e₃ die übrigen.