Lösung einer linearen Kongruenz

Question

Aufgabe:

Wie kann man den Bruch \( \frac{200}{77} \) in zwei Brüche zerlegen, deren Nenner 11 und 7 sind?

1) Begründen Sie, dass die Lösung dieser Aufgabe mit Hilfe der linearen Kongruenz
$$ 11 x \equiv 200 \quad(\bmod 7) $$
bestimmt werden kann. Bestimmen Sie anschließend alle \( x \in \mathbb{Z} \), welche diese Kongruenz
erfüllen.

2) In der ursprünglichen Aufgabe sollten alle positiven Brüche ermittelt werden. Bestimmen Sie mit Hilfe der Lösung von Teilaufgabe b) alle in der ursprünglichen Aufgabe gesuchten Brüche.

Answer 1

200/77 = a/11 + b/7 = 7a/77 + 11b/77 = (7a + 11b)/77

Es muss also gelten

7a + 11b = 200

11b ≡ 200 mod 7 bzw. für b = x
11x ≡ 200 mod 7

Als Lösung erhalte ich dann

x = 1 + 7k

Damit ergeben sich für die Brüche

5/11 + 15/7 = 200/77
16/11 + 8/7 = 200/77
27/11 + 1/7 = 200/77

Answer 2

\( \frac{200}{77} \) =\( \frac{y}{11} \) +\( \frac{x}{7} \) =\( \frac{7y+11x}{77} \)

Dann muss 200=7y+11x oder 200-7y=11x sein.

Dann ist auch 200-7y≡11x mod 7

und wegen             7y≡0  mod 7

gilt jetzt:               200≡11x mod 7.

Daraus folgt:             4≡11x mod 7 und auch 4≡4x mod 7 und schließlich 1≡x mod 7.

Also x=7n+1 für n∈ℤ.