Integralrechnung und Volumen

Question

wir haben zurzeit das Thema Integralrechnung.

Leider verstehe ich nicht ganz, also das mit der Stammfunktion und dem Kehrwert. ._.

Ich bräuchte Hilfe bei diesen Aufgaben:

1. Die von den Graphen der Funktionen

f(x) = \( \frac{1}{2} \)x  und g(x)= -2\( x^{2} \) + 4x

eingeschlossene Fläche rotiert um die x-Achse.

Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.

2. f(x) = \( \frac{1}{x^{2}} \)   mit D = ℝ

a) Berechnen Sie das uneigentliche Integral [1 (von unten) bis ∞ (oben)] f(x) = \( \frac{1}{x^{2}} \) d * x

b) Rotiert die Funktion f um die x-Achse, so entsteht ein Drehkörper mit einem „bis ins Unendliche reichenden“ Volumen V.

Berechnen Sie dieses Volumen im Intervall [1 ; + ∞]

Ich hoffe jemand kann mir helfen

Answer 1

1.

Schnittstellen f(x) = g(x)

1/2·x = 4·x - 2·x^2 --> x = 0 ∨ x = 1.75

∫ (0 bis 1.75) pi·((4·x - 2·x^2)^2 - (1/2·x)^2) dx = 11.79 VE

Hier hast du ja noch keinen Kehrwert das sollte also keine Probleme bereiten oder? Also Funktion einfach ausmultiplizieren und nach Potenzregel integrieren.

Comments

2.a)

f(x) = 1/x^2 = x^(-2)

F(x) = -x^(-1) = -1/x

∫(1 bis ∞) f(x) dx = F(∞) - F(1) = (-1/∞) - (-1/1) = 0 + 1 = 1

Achtung: Ich habe hier direkt ∞ eingesetzt obwohl man das nicht machen darf. Eigentlich sollte man hier schön brav den Grenzwert über den Limes bilden. Ich habe es trotzdem mal so gemacht, weil es die Rechnung die dahinter steckt tatsächlich am besten wiedergibt.

2.b)

∫ (1 bis ∞) (pi·(1/x^2)^2) dx = pi/3 = 1.047197551

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Zu 1. Bin ich mir allgemein unsicher wie ich das machen soll, das Thema verzweifelt mich

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Ansatz und Ergebnis kannst du meiner Antwort entnehmen. Probier es jetzt mal nachzurechnen. Nutze gerne technische Hilfsmittel zur Unterstützung.