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Aufgabe:

Ein Schiff fährt mit konstanter Geschwindigkeit von 8,5 Knoten, ohne seine Richtung zu ändern, an einer Insel vorbei. Um 9.30 Uhr peilt der Kapitän im Punkt P den Leuchtturm L unter dem Winkel alfa=25° an, um 9.45 Uhr im Punkt Q unter dem Winkel ß=58°. a) Wie weit ist das Schiff um 9.45 Uhr vom Leuchtturm entfernt? b) In welchem Abstand fährt das Schiff am Leuchtturm vorbei? Welche Uhrzeit ist dann?


Problem/Ansatz:

Stumpfwinklinge Dreiecke

von

Wie ist die Sachlage ?

gm-258.jpg

3 Antworten

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Es gilt

        \(\mathrm{Geschwindigkeit} = \frac{\mathrm{Strecke}}{\mathrm{Zeit}}\).

Damit kannst du \(|PQ|\) ausrechnen.

In welchem Abstand fährt das Schiff am Leuchtturm vorbei?

Der Punkt an dem das passiert, sei \(M\). Dann ist

(1)        \(|PM| = |PQ| + |QM|\).

peilt der Kapitän im Punkt P den Leuchtturm L unter dem Winkel alfa=25° an

(2)        \(\tan \alpha = \frac{|ML|}{|PM|}\).

im Punkt Q unter dem Winkel ß=58°

(3)        \(\tan \beta = \frac{|ML|}{|QM|}\).

Löse das Gleichungssystem.

a) Wie weit ist das Schiff um 9.45 Uhr vom Leuchtturm entfernt?

Das ist \(|QL|\). Es gilt

        \(|QL| = \sqrt{|QM|^2 + |ML|^2}\)

wegen Pythagoras.

b) In welchem Abstand fährt das Schiff am Leuchtturm vorbei?

Das ist \(ML\).

Welche Uhrzeit ist dann?

Setze die passenden Angaben in obige Formel für die Geschwindigkeit ein.


von 55 k 🚀
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Knoten= Seemeilen pro Stunde. PQ=2,125 Seemeilen.

blob.png x und z mit dem Sinussatz bestimmen. p, q und y als Lösungen des Systems

p+q=2,125

p2+y2=y2

q2+y2=x2.

von 84 k 🚀

Danke sehr, hat mir geholfen.

ich gehe davon aus, dass sich die 58° am Punkt \(Q\) auf die gleiche Referenzrichtung beziehen, wie die 25° am Punkt \(P\). Also auf die Fahrtrichtung des Schiffes. Es sollte also so aussehen:

blob.png

Um 9:45 hat das Schiff einen Abstand von 1,65sm vom Leuchtturm und 6,2min später - also um 9:51 - fährt das Schiff in einem Abstand von 1,40sm am Leuchtturm vorbei.

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Hier die Skizze

gm-259.jpg


beta = 180 - 58 = 122 °
Gamma = 180 - ( 25 + 122 ) = 33 °
Sinussatz
sin ( 33 ) / 2.125 = sin ( 122 ) / b
b = 3.31

sin ( 25 ) = h / 3.31
h = 1.4

1.4 ist der kürzeste Abstand

Alles weitere kann berechnet werden.

von 100 k 🚀

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