Nullstellen für das Polynom x5 + 1

Question

Aufgabe:

Könnte mir jemand die Nullstellen für das Polynom x⁵ + 1 angeben??

reell hab ich se schon in der "komplexen Schreibweiße" mit i bräuchte ich sie noch.

lg
Problem/Ansatz:

komme nicht drauf

Comments

X⁵+1 =0

X⁵= - 1 = cos 180° + i sin 180°

x₀ = cos 180°/5 + i sin 180°/5

x₀= cos 36° + i sin 36°

360°/5 = 72°

Xn = cos(36°+n*72°) + i sin(36°+n*72°)

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Die Nullstellen lassen sich auch mithilfe der pq-Formel, sowie der Zerlegung $\large x^5+1=(x+1)(x^2-\frac{1+\sqrt5}2x+1)(x^2-\frac{1-\sqrt5}2x+1)$ berechnen.

Answer 1

x⁵ + 1 = 0

x⁵ = - 1

In den reellen Zahlen gibt es hir nur die Lösung x = - 1

In den komplexen Zahlen gibt es noch 4 weitere Lösungen.

x⁵ = e^((pi + k·2·pi)·i)

x = e^((pi + k·2·pi)/5·i)

x1 = e^(1/5·pi·i) = √5/4 + 1/4 + i·√(10 - 2·√5)/4 = 0.8090 + 0.5878·i
x2 = e^(3/5·pi·i) = - √5/4 + 1/4 + i·√(2·√5 + 10)/4 = -0.3090 + 0.9511·i
x3 = e^(pi·i) = - 1
x4 = e^(7/5·pi·i) = - √5/4 + 1/4 - i·√(2·√5 + 10)/4 = -0.3090 - 0.9511·i
x5 = e^(9/5·pi·i) = √5/4 + 1/4 - i·√(10 - 2·√5)/4 = 0.8090 - 0.5878·i

Grafisch sieht das wie folgt aus

Comments

Das weiß ich. Die frage ist ob mir die komplexen jemand sagen kann?

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Das weiß ich. Die frage ist ob mir die komplexen jemand sagen kann?

Ich habe oben die Rechnung ergänzt.

Answer 2

Aloha :)

$$x^5=-1=i^2=(\cos\frac{\pi}{2}+i\,\sin\frac{\pi}{2})^2=\left(e^{i\pi/2}\right)^2=e^{i\pi}=e^{i(\pi+n\,2\pi)}\;;\;n\in\mathbb{Z}$$Wegen der $2\pi$-Periode von Sinus und Cosinus ist auch die komplexe $e$-Funktion $2\pi$-periodisch. Daher dürfen wir zum Winkel beliebig oft $2\pi$ addieren oder subtrahieren. Für die Wurzel bedeute dies nun:$$x=e^{i\,\frac{\pi+2\,n\pi}{5}}\;;\;n\in\mathbb Z$$Wir stellen fest, dass es für $n=0,1,2,3,4$ verschiedene Lösungen gibt, ab $n=5$ wiederholen sie sich:$$x_0=e^{i\pi/5}$$$$x_1=e^{i3\pi/5}$$$$x_2=e^{i\pi}=-1$$$$x_3=e^{i7\pi/5}$$$$x_4=e^{i9\pi/5}$$$$x_5=e^{i11\pi/5}=e^{i\pi/5}=x_0\quad\text{(1. Wiederholung)}$$Wir haben also 5 verschiedene Lösungen gefunden.

Comments

/ steht für geteilt oder??

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Genau... wollte keinen Bruch schreiben, der wird im Exponenten so klein dargestellt.

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Top!!

Danke euch beiden:)))

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x2 = (-(√5-1))/4 =

x3 =((√5-1))/4


x4 =(-√(2√5+10))/4

x5 =(-√(-2√5+10))/4
Welches steht jetzt für was ??

Sorry dass ich nochmals störe

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Hmm, damit kann ich nichts so recht anfangen. Vermutlich möchtest du die Ergebnisse mit Hilfe von Real- und Imaginärteil schreiben. Dazu kannst du die Euler-Formel nutzen:$$e^{\pm i\varphi}=\cos\varphi\pm i\cdot\sin\varphi$$Damit wäre z.B.$$x_1=e^{i3\pi/5}=\cos\frac{3\pi}{5}+i\,\sin\frac{3\pi}{5}$$Die exakten Werte für Cosins und Sinus geben dann oft so fummelige Wurzel-Ausdrücke...

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Die vier Werte wo ich habe müssten die gleichen wie von euch sein es ist nur die Frage welcher Wert zu welchen gehöhrt.

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Nochmals meine Frage.die 4 Werte sind quasi die vier weiteren nullstellen neben -1. ich möchte quasi die 4 werte hinschreiben untereinander und dann = und nebendrann die Werte Im komplexen ausgedrückt.

bsp: 5/3 -7 =  0,1255852222 +1,25455655i

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Hmmm, was stört dich denn an der Darstellung mit der $e$-Funktion?

Ich habe dir auch schon geantwortet, dass du die $e$-Funktion in Real- und Imaginärteil aufteilen kannst:$$e^{\pm i\varphi}=\cos\varphi\pm i\cdot\sin\varphi$$Das brauchst du doch nur auf die 5 Lösungen anzuwenden...

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Nix aber welche e Funktion gehöhrt zu meinen Werten????

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In deinen Werten kommt kein $i$ als imaginäre Einheit vor. Daher ist nicht ersichtlich, was der Real- und was der Imaginärteil ist. Ohne diese Angabe können wir die passende $e$-Funktion nicht bestimmen.

Answer 3

Arndt Bruenner hilft, Nullstellen von Polynomen zu finden

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm

Comments

Der Arndt ist aber nicht bei der Klausur dabei...

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Das ist schade, alle sprechen doch von der Notwendigkeit der Digitalisierung und dann dürfen diese Hilfsmittel nicht eingesetzt werden.

Spaß beiseite, er hilft aber bei der Vorbereitung, da er ja auch erklärt, wie er zur Lösung kommt. Wenn der richtige Button gedrückt wird.

Bei diesem speziellen Fall, ist es ausreichend eine Lösung zu finden und zu wissen, dass die anderen auf dem Fünfeck liegen.

Komisch, 5 Ecke und Dreiecke kommen recht häufig vor.

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Lol, ja da hast du recht. Wenn man mal sieht, dass es eine Corona-Pandemie benötigt, um das Thema Digitalisierung unserer Schulen ganz ganz langsam anzustoßen, möchte man sich gar nicht vorstellen, was nötig ist, damit mal die Lerninhalte für Neuland angepasst werden... Da können solche Tools tatsächlich helfen.

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Ich habe aber immer gesagt, wenn die Digitalisierung kommt, wird es Zeit für mich zu gehen. :-)

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Jetzt weiß ich wie die Nullstellen im komplexen geschrieben sind aber welches jetzt zu meinen 4 Lösungen passt ist die Frage.

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Da außer dir keiner weiß, wie deine Lösungen aussehen, müsstest du sie schon angeben.

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x2 = (-(√5-1))/4 =

x3 =((√5-1))/4


x4 =(-√(2√5+10))/4

x5 =(-√(-2√5+10))/4

das sind die 4 Lösungen stehen auch schon weiter oben.

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Ach so, ich hatte nicht bei den anderen Antworten geguckt.

Tipp:

Gib deine (unvollständige) Lösungen bei Woframalpha ein. Dann kannst du mit den hier gegebenen Antworten vergleichen.

:-)

PS: Ich habe gerade dein x4 bei Wolfram getestet. Das sieht leider falsch aus, da der Winkel von x4    45°+n*90° ist, aber 18°+n*72° sein müsste.

Answer 4

Am besten löst du das in der Polarform.

Der Betrag ist bei allen Lösungen 1.

Den Winkel in Grad erhältst du, indem du den Winkel von -1, also 180° erst einmal durch 5 dividierst, also 36°.

180°+360°=540°

540°:5=108°=36°+72°

Nun noch ein paar Mal 72° addieren, bis du 5 Lösungen hast.

Ins Bogenmaß umrechnen nicht vergessen.

:-)

Answer 5

Was macht Deine wissenschaftliche Seminararbeit?

Soll das dazu passen?

Graph des Polynoms bis a=1 aufziehen

Graph schneidet Ursprung

φ aufziehen und P_z möglichst genau in Ursprung plazieren

(a,φ) Polarkoordinaten der Nullstelle - rote Zeile Umrechnung aucf komplexe Zahl und vergleich mit numerischer Berechnung. φ weiter aufziehen 2. Umlauf - einmal rum und wieder möglichst genau in Ursprung stellen:

3. Umlauf

die restlichen beiden Umläufe spar ich mir ....

Du hast Dein Polynom ja seeehr vereinfacht?

Kartesische Koordinaten $x, y$
$$\begin{array}{l} x=r \cos \varphi(\text { Realteil von } z) \\ y=r \sin \varphi(\text { Imaginärteil von } z) \end{array}$$

Polare Koordinaten $r, \phi$
Betrag $r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
Argument arg $(z):=\phi$ ergibt sich aus $\tan \varphi=\frac{y}{x}$ Quadrant beachten!

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Das hat nix mit dem vorherigen zu tun. ich möchte einfach nur ein Beispiel angeben.

x⁵ +1 habe ich mir da ausgesucht. jetzt habe ich die "normalen Lösungen" und würde aber auch noch gerne die Komplexen haben. Über diese Website von arndt komme ich zwar an die ergebnisse ran, jedoch weiß ich nicht welches ergebniss zu was gehöhrt:

x2 = (-(√5-1))/4 =

x3 =((√5-1))/4


x4 =(-√(2√5+10))/4

x5 =(-√(-2√5+10))/4

Da sind die ergebnise und jetzt möcht ich bei jedem = des "komplexe" schreiben.

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Es gibt nur eine reelle Lösung. Das sind die Lösungen OHNE dem i.

Es gibt vier komplexe Lösungen. Das sind die Lösungen MIT dem i.

Was du dort aufgeschrieben hast sind also weder die komplexen noch die reellen Lösungen.

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Das sind die Realanteile der Nullstellen

Das komplette Ergebnis kannst Du schreiben als (Euler Notation - da stecken die Polorkoordinaten drinn)

$\small L_{cpx} \, := \, \left(\begin{array}{r}-1\\e^{\pi \; \frac{i}{5}}\\e^{3 \; \pi \; \frac{i}{5}}\\-e^{2 \; \pi \; \frac{i}{5}}\\-e^{4 \; \pi \; \frac{i}{5}}\\\end{array}\right)$

oder auch

$\small \left(\begin{array}{l}x_1 = -1 + i \cdot 0\\x_2 = \frac{\sqrt{5} + 1}{4} + i \; \frac{\sqrt{-2 \; \sqrt{5} + 10}}{4}\\x_3 = \frac{-\sqrt{5} + 1}{4} + i \; \frac{\sqrt{2 \; \sqrt{5} + 10}}{4}\\x_4 = \frac{-\sqrt{5} + 1}{4} + i \; \left(-\frac{\sqrt{2 \; \sqrt{5} + 10}}{4} \right)\\x_5 = \frac{\sqrt{5} + 1}{4} + i \; \left(-\frac{\sqrt{-2 \; \sqrt{5} + 10}}{4} \right)\\\end{array}\right)$

oder auch

$\small L_{cpx} \, := \, \left(\begin{array}{r}-1\\0.80902 + 0.58779 \; i\\-0.30902 + 0.95106 \; i\\-0.30902 - 0.95106 \; i\\0.80902 - 0.58779 \; i\\\end{array}\right)$

Du kannst in der App die Gleichung angeben und die Lösungen besichtigen und auch grafisch ablesen/einstellen.

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Es wurden dir doch schon viele Lösungen vorgerechnet, Mathecoach Monty Python, Tshakabumba , ich, dort stehen auch die komplexen Lösungen, wo ist jetz noch das Problem?

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@coach

Es gibt 5 komplexe Lösungen.

Reelle Lösungen sind auch komplex. :-)

/klugscheißermodus_aus/

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hätte vielleicht rein komplexe oder so schreiben sollen.

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Ich weiß ja, dass du es weißt.

Vier nicht reelle Lösungen hätte ich geschrieben.

:-)

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Manchmal bekomme ich hier Komplexe, vor lauter Klugheit.

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@Hogar

Das ist doch rein imaginär. ;-)