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Aufgabe:

Gesucht: Radius und Kreis, der die y-achse, den Kreis m(4/1); r=6 von innen und den Kreis m(-7/-1); r=9 von aussen berührt.

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Schon mal darüber nachgedacht die Angelegenheit zu skizzieren

blob.png

Du suchst M(x | y) und r von deinem Kreis.

Kannst du damit nicht einfach 3 Gleichungen aufstellen?

x = r
(x - 4)^2 + (y - 1)^2 = (6 - r)^2
(x + 7)^2 + (y + 1)^2 = (9 + r)^2

Dann kann man das Gleichungssystem selber lösen oder lösen lassen.

von 348 k 🚀

Die Skizze hatte ich schon gehabt, inklusive Pythagoras für den gesuchten kreis.

Habe Probleme mit dem Auflösen des Gleichungssystems.

x = r
(x - 4)^2 + (y - 1)^2 = (6 - r)^2
(x + 7)^2 + (y + 1)^2 = (9 + r)^2

I in II und III einsetzen

(x - 4)^2 + (y - 1)^2 = (6 - x)^2 → 4·x + y^2 - 2·y - 19 = 0
(x + 7)^2 + (y + 1)^2 = (9 + x)^2 → - 4·x + y^2 + 2·y - 31 = 0

I + II

2·y^2 - 50 = 0 → y = -5 ∨ y = 5

I - II

8·x - 4·y + 12 = 0 → x = r = 1 ∧ y = 5 (oder x = r = -4 ∧ y = -5)

Da ein negativer Radius nicht möglich ist entfällt die 2. Lösung hier.

Besten Dank für die Hilfestellung.

Das ist natürlich etwas eleganter als meine Idee, es ist beim Addieren doch mehr weggefallen als ich dachte.

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X=r

Die Aufgabe läuft darauf hinaus, das folgende GlS zu lösen

(r-4)²+(x-1)² =(6-r)²

(7+r)² + (x+1)²=(9+r)²

Die r² werden sich aufheben, wenn wir die Gleichungen addieren, wird das x verschwinden, wenn wir sie subtrahieren, verschwindet das x ²  wenn wir die Differenz so sortieren, dass x isoliert wird, können wir die Seiten quadrieren und für x² in der Summe einsetzen. Der Rest ist nur noch das Auflösen der quadratischen Gleichung. Somit erhalten wir r, dies eingesetzt in die Gleichung, bei der x isoliert wurde, ergibt x.

Den Rest überlasse ich dem geneigten Leser.

von 2,4 k

Frage: Warum (r-2)^2

Antwort, weil ich mich verschrieben habe, richtig ist r-4 .anstelle von r-2

Habe es berichtigt.

Besten Dank für die Hilfestellung.

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Hallo,

Wenn man sich Gedanken darüber macht, wo ein Kreis liegt, der sowohl einen anderen Kreis (blau) als auch eine Gerade (hier die Y-Achse) berührt, kommt man zu folgendem:

blob.png

Die Mittelpunkte \(P_1\) und \(P_2\) all dieser Kreise (rot und violett) liegen auf zwei Parabeln, deren Leitgeraden (gestrichelt) um den Radius \(r\) des Ausgangskreises von der Berührgeraden (blau) verschoben sind. Damit die Bedingung der Berührung erfüllt ist, müssen offensichtlich die roten Strecke \(|P_1X|= |P_1M|\) und die violetten Strecken \(|P_2X_2|=|P_2M|\) jeweils gleich lang sein. Und genau das ist die Definition einer Parabel.

Ist die Berührgerade die Y-Achse, so folgen die beiden Parabeln folgender Funktion:$$x-\frac{1}{2}\left(m_{x} \mp r\right)=\frac{1}{2\left(m_{x}\pm r\right)}\left(y-m_{y}\right)^{2} $$wobei \((m_x|\, m_y)\) der Mittelpunkt und \(r\) der Radius des Ausgangskreises ist.

Kombiniert man zwei Kreise, so liegen zwei Parabelpaare mit maximal 8 Schnittpunkten vor, für die diese Bedingung bei beiden Kreisen erfüllt ist. Ich habe mal alle acht möglichen Kreise für diese Aufgabe berechnet:

~draw~ kreis(4|1 6){0c0}{0.3};kreis(-7|-1 9){00c}{0.3};kreis(2.630|-7.521 2.630);kreis(-0.380|4.521 0.380){555};kreis(-4.000|-5.000 4.000);kreis(1.000|5.000 1.000){1};kreis(-0.161|5.096 0.161){c00}{1};kreis(0.587|-4.634 0.587){333};kreis(0.867|-3.066 0.867);kreis(-0.377|5.638 0.377);zoom(12) ~draw~

nur der kleine rote und der gelbe Kreis erfüllen die in der Aufgabe gestellte Bedingung. Sie liegen innerhalb von \(k_1\) (grün) und außerhalb von \(k_2\) (violett). Und die berechnen sich aus folgenden Parabelpaaren:$$\eqalign{ k_1: &&x-5 &=-\frac{1}{4}\left(y-1\right)^{2}, && r &= -6\\ k_2: && x+8 &=\frac{1}{4}\left(y+1\right)^{2}, && r&= +9}$$ zieht man beide Gleichungen von einander ab, so erhält man eine quadratische Gleichung mit \(y\) als Unbekannte. Hier ist \((x|y) = (1|\,5)\) die gesuchte Lösung für den gelben Kreis und für den kleinen roten Kreis gilt$$\eqalign{ k_1: && x+1&=\frac{1}{20}\left(y-1\right)^{2}, &&r&= +6\\ k_2: && x-1 &=-\frac{1}{32}\left(y+1\right)^{2}, && r &= -9}$$mit der einen von zwei Lösungen $$\eqalign{ x &= -\frac 4{169} (5 \sqrt{10} - 9) \approx -0,161 \\ y & = \frac 1{13}(3 + 20 \sqrt{10}) \approx 5,096 }$$und den Kreis \(k_1\) habe ich nochmal zum Ausprobieren in Desmos eingegeben:


klickt man auf den Desmos-Schriftzug rechts unten, so öffnet sich der Editor.

von 28 k

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