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Aufgabe:

Gegeben sind die Gerade g:x=[4/3/1]+t*[1/-2/1] und der Punkt P(8/p/5).

a) Begründen Sie, dass der Punkt P für keinen Wert p auf der Geraden g liegt.

b) Bestimmen Sie die Koordinate p des Punktes P so, dass 5 der Abstand P zu g ist.


Problem/Ansatz:

Ich habe leider gar keine Idee.

von

Wähle p=-5 und t=4. Widerspruch.

Wo ist denn da der Widerspruch?

p=-5: P(8|-5|5)

t=4: (4,3,1)+4(1,-2,1)=(8,-5.5)

Folglich finden wir ein \(p\), so dass der Punkt sehr wohl auf der Geraden liegt, im Widerspruch zu "Begründen Sie, dass der Punkt P für keinen Wert p auf der Geraden g liegt."

Ich hatte dich falsch verstanden.

3 Antworten

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a) Punkt in die Geradengleichung einsetzen und zeigen dass es keine Lösung gibt.

b) sieh nach wie man den Abstand Punkt Gerade bestimmt.

bei "keiner Ahnung" hilft oft Unterrichtsmitschrift, Schulbuch oder Skript

Gruß lul

von 44 k
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Hallo,

zu b)

Du kannst den Abstand eines Punktes zu einer Gerade mit der Formel

\(d=\frac{|(\vec{p}-\vec{a})\times\vec{u}|}{|\vec{u}|}\) berechnen.

\(\vec{AP}=\begin{pmatrix} 4\\p-3\\4 \end{pmatrix}\)

Kreuzprodukt: \(\begin{pmatrix} 4\\p-3\\4 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 1\\-2\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} p+5\\0\\-p-5 \end{pmatrix}\)

In die Formel einsetzen und nach p auflösen

\(5=\frac{\sqrt{(p+5)^2+(-p-5)^2}}{\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}}\)

Ich erhalte \(p_1=-5+5\sqrt{3}\approx 3,66\quad p_2=-5-5\sqrt{3}\approx-13,66\)

Gruß, Silvia

von 15 k

Weißt du auch, warum diese Formel den Abstand angibt? Es gibt eine schöne geometrische Erklärung.

Die Herleitung habe ich mir mal angesehen, aber ich lasse sie mir gerne noch einmal von dir erklären.

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Gegeben sind die Gerade g:x=[4/3/1]+t*[1/-2/1] und der Punkt P(8/p/5).

Mit der ersten Koordinate berechne ich t:

4+t*1=8 → t=4

Dritte Koordinate:

1+4*1=5    stimmt.

Mit der zweiten Koordinate p bestimmen:

3+4*(-2)=3-8=-5.

Der Punkt (8|-5|5) liegt auf der Geraden.

Die Aufgabe ist falsch gestellt.

:-)

von 13 k

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