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Aufgabe:

Wie kommt mein Dozent auf die 1?


Problem/Ansatz:

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{c^{2}+1}{c^{2}-9}\right)^{n}=0 \)
mein Dozent schreibt:
\( \begin{array}{l} q^{n}=0 \Leftrightarrow|q|<1 \\ \left|\frac{c^{2}+1}{c^{2}-9}\right|<1 \end{array} \)

von

Er meint $$ \lim_{n\to\infty} a^n =0 \iff |a| < 1 $$

Ist dir nicht klar, warum diese Äquivalenz gilt?

Ja das verstehe ich nicht.

Schreib dir mal die ersten 4, 5 Glieder der Folge \( (a^n)_{n\inℕ}\) für

a = -2, a=-1, a=-1/2, a=1/2, a=1, a=2

hin. Wann geht die Folge gegen 0, wann nicht?

2 Antworten

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Beste Antwort

Hallo,

die Frage muss hier doch wohl lauten

für welche c∈ℝ   gilt  \( \lim\limits_{x\to\infty} {\left(\dfrac {c^2+1}{c^2-9}\right)}^n =0\) ?

wenn man - wie dein Dozent - den Bruch in der Klammer mit q abkürzt, heißt das:

für welche c∈ℝ  gilt \( \lim\limits_{x\to\infty}q^n=0\) ?

Das ist genau dann der Fall, wenn |q| < 1 gilt            [z.B.   (2/3)3  = 8/27 , (3/2)3= 27/8 ]

Bei deinem Foto macht die 3. Zeile keinen Sinn. Dort müsste stehen:

          \( \lim\limits_{n\to\infty}q^n=0⇔|q|<1 \)

also muss         \(\left|\dfrac{c^2+1}{c^2-9}\right|<1\)  gelten.

Wenn du diese Ungleichung nach c auflöst, erhältst du - 2 < c <  2

Gruß Wolfgang

von 84 k 🚀
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Kürze mit c^2! Der Term in der Klammer geht gegen 1.

von 44 k

Hallo Andreas,

deine Antwort kann ich nicht nachvollziehen. c ist doch eine Konstante.

c → ?

Gruß Wolfgang

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