sinh, cosh Induktions(schritt). A(n):= [sinh(z) + cosh(z)]^n = sinh(nz) + cosh(nz)

Question

   wir sollen folgende Aussage auf Induktion überprüfen, nur leider bekomme ich den Induktionsschritt nicht hin!     

 A(n):=  [sinh(z) + cosh(z)]^n = sinh(nz) + cosh(nz)

 

Liebe Grüße

Comments

Ist vollständige Induktion explizit verlangt?

Ist hier unnötig:

cosh(x) = 1/2 (e^{x} + e^{-x})

sinh(x) = 1/2 (e^{x} - e^{-x})

cosh(x) + sinh(x) = e^x

(cosh(x) + sinh(x))^n = (e^x)^n = e^{nx}

Falls doch verlangt...ich bin im Bett
Grüße

---

ja, denn wir sollen es für alle n elemente der natürlichen Zahlen zeigen. Vielen Dank für die Antwort, auch um die Zeit! :)

---

Unknown hat es für alle n gezeigt. Also nicht nur für 1 oder 2 sondern algebraisch eben für alle.

Answer 1

Ich stehle mal Unknowns Beweis und führe ihn etwas weiter aus:

cosh(x) = 1/2 (e^x + e^-x)

sinh(x) = 1/2 (e^x - e^-x)

cosh(x) + sinh(x) = e^x

(cosh(x) + sinh(x))ⁿ 

=(1/2 (e^x + e^-x) + 1/2 (e^x - e^-x))^n

=(1/2 (e^x + e^-x+ e^x - e^-x))^n

=(1/2 (2e^x))^n

= (e^x)ⁿ = e^nx

 

(cosh(nx) + sinh(nx))

=(1/2 (e^nx + e^-nx) + 1/2 (e^nx - e^-nx))

=(1/2 (e^nx + e^-nx+ e^nx - e^-nx))

=(1/2 (2e^nx))

= e^nx

Beide Terme sind vereinfacht e^nx und daher gleich. qed.