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Aufgabe:

dirichlet Funktion


Problem/Ansatz:

ich komme mit dieser Funktion nicht zurecht. Es würde mir sehr helfen, wenn mir das jemand genauer erklären könnte.

von

Es geht laut Tags um die Stetigkeit. Hast du es bereits mit einem Video probiert?


Hallo

wahrscheinlich kennst du einen Beweis und verstehst ihn nicht?= Dann sage etwas genauer , was du nicht verstehst. Aber bitte ich will dazu kein Video ansehen, sondern schreib auf, was du nicht kannst! Oft hilft es schon, die Unklarheit genau zu formulieren, und du schaffst den Beweis selbst.

Gruß lul

Für das Verständnis: https://de.wikipedia.org/wiki/Dirichlet-Funktion

Zu deiner Aufgabe, die Stetigkeit von der Funktion zu untersuchen: https://www.mathelounge.de/496018/stetigkeit-nachweisen-und-dirichlet-funktion

Es ist tatsächlich so das ich einen Beweis sogar mehrmals gesehen habe und in bis jetzt nicht verstanden habe. Ich habe z. B. Das delta epsilon kriterium schon ein paar mal angewandt wobei das noch nicht so flüssig ist. Bei der dirichlet Funktion weiß ich nicht was ich wie möglicherweise umformen soll bzw kann. Ich habe aktuell also keinen Zugang. Noch etwas zu meinem Hintergrund. Ich bin 65 und habe eine Zeit lang gebraucht um mich vor 2 Jahren durchzuringen einfach in eine zweitsemester Vorlesung-vorher ging es aus persönlichen Gründen leider nicht - reinzugehen ohne Immatr. Da nur Fachabitur. Dann habe alle Veranstaltungen besucht mich aber zunächst nicht getraut uebungsblaetter abzugeben. Jetzt bin ich endlich an der fernuni eingeschrieben und versuche so gut wie möglich bei mir alles zu ordnen.

Kannst du konkreter werden? Welchen Beweis hast du nicht verstanden? Möchtest du bei der Dirichlet-Funktion die Stetigkeit untersuchen mithilfe des Epsilon-Delta-Kriteriums?

Dann halte dich an den Tipp von lul

Schreibe dir selber den Beweis auf so wie du ihn im Video hast.

Probiere zu verstehen wie man von einer Zeile auf die nächste Zeile kommt. Das dürftest du für die meisten Zeilen vermutlich können.

Wenn du Probleme bei einer zur anderen Zeile hast, dann markiere diese beiden Zeilen im Beweis und stelle den Beweis mit der Stelle an der du nicht klar kommst zur Verfügung. Dann kann sicher jemand genau helfen.

Ich versuche noch einmal mitzuteilen was ich bei der dirichlet Funktion nicht verstehe. Zum einen ist mir bei den Koordinaten nicht klar wie es auf der x Achse zu 0.2  0,4. 0,6  0,8 und auf der y Achs zu 0,1. 0,2. 0,3. 0,4 und so weiter kommt, zum ist mir bei dem Widerspruchsbeweis von Michael Koch nicht klar was bei dem delta epsilon kriterium das X-Xo ist genauso wie die weitere Ausführung seines Beweises. Möglicherweise kann es mir einer über diese Plattform erklären. Vielen Dank.

1. Die Funktion nimmt nur die Werte 0 oder 1 an. Also können auf der y-Achse nicht die von Dir angegebenen Werte vorkommen.

2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen liegen dicht in \( \mathbb{R} \) und \( \mathbb{R} = \mathbb{Q} \ \cup \left( \mathbb{R}/\mathbb{Q} \right) \). D.h. in jeder Umgebung einer rationalen Zahl liegen irraritonale und umgekehrt. Das ist der Cluo an dem Beweis.

Wenn ich im Internet dirichlet Funktion eingebe, dann bekomme ich bei Wikipedia ein Koordinatensystem zu sehen, das wie folgt aussieht. Unten ist die x Achse von rechts nach links angegeben. Sie ist rot gezeichnet und beginnt mit einem Abstand vom Ursprung 0,2. 0,4. 0,6. 0,8. Das sind die reellen Zahlen ohne die rationalen Zahlen. An der senkrechten y Achse werden ebenfalls mit einem Abstand folgende Zahlen aufgelistet 0,1.0,2.0,3 bis 0,9.Oben ist dann wieder Achse parallel zur x Achse, diesmal blau gezeichnet. Das sind die rationalen Zahlen. Damit komme ich zumindest aktuell nicht klar. Vielleicht kann man mir das erklären. Vielen Dank

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Dirichlet-Funktion

Da sieht man das nur Werte zwischen 0 und 1 angenommen werden.

Hallo

Welche Zahlen man zwischen 0 und 1 auf der x-Achse angibt. hat nichts mit der Funktion zu tun. Dass gerade die Zahlen angegeben werden, hat nichts zu sagen, genauso gut könnte man nur 0,  0.5 und 1 angeben,

Vorstellen kann man sich die Funktion nicht gut, da es so nahe wie man will neben jeder rationalen Zahl eine reelle nicht rationale gibt, und neben jeder nicht rationalen beliebig nahe eine rationale,

DJH, anschaulich zwischen 2 rationalen Zahlen die schon nahe beieinander sind, etwa 1/1000 und 1/1001 liegen unendlich viele weitere rationale zahlen und ebenso unendlich viele nicht rationale Zahlen, die funktion "hopst" also schon zwischen 1/1000 und 1/1001 unendlich oft zwischen 0 und 1,

Wenn du jetzt ein rationale x_0 nimmst  also f(x_0)=1 und da die Stetigkeit  zeigen willst  musst du zeigen, dass es zu JEDEM ε ein δ gibt. so dass wenn |x-x_0|<δ daraus folgt |f(x)-f(x_0)|<ε, jetzt wissen wir aber schon, dass beliebig nahe an rationalem x_0  reelle x liegen, egal wie klein ich δ mache es gibt immer ein   nicht rationales x  in dem Intervall |x-x_0| mit f(x)=0 also |f(x)-f(x_0)|=1  also nicht kleiner ε=0,1

So jetzt sag genau, wo du aussteigst. (Ich find den Beweis mit Folgenstetigkeit einfacher, weiss aber nicht ob du die kennst)

Gruß lul

noch zur Darstellung in wiki

der rote Strich steht für den Funktionswert  f(x)=0 für alle nichtrationalen Zahlen, sie liegen so dicht, dass man keine Lücken sieht, der blaue Strich für die rationalen Zahlen f(x)=1

die Angaben auf den Achsen haben keine Bedeutung, nur die 1 und 0 sind wichtig. Bei mir gehen in wiki die Striche von -1 bis +1

lul

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