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Aufgabe:

Skizzieren Sie jeweils den Grphen der Funktion und markieren Sie die FlĂ€che, die von dem Graphen und der x-Achse im Intervall ( a, b ) eingeschlossen wird. Geben Sie einen SchĂ€tzwert fĂŒr den FlĂ€cheninhalt an und berechnen Sie dann die FlĂ€che.

F(x)=4-x^2; a=-4, b=4





Problem/Ansatz:

Ich berechne erst die Nullstellen, die sind: x=2, x1=-2

Wie sieht aber die Zeichnung aus und der Rechenweg?

Bitte um Hilfe

von

5 Antworten

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∫(4x-x^2) von -2 bis 2= [4x-x^3/3] von -2 bis 2 = 4*2-2^3/3 -(4*(-2)-(-2)^3/3)) = ...

von 44 k
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Wie sieht aber die Zeichnung aus

Eine nach unten geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt (0|4), die die x-Achse an den Stellen -2 und 2 schneidet.

Du musst dringend wiederholen, wie man quadratische Funktionen zeichnet, insbesondere wie man den Scheitelpunkt bestimmt.

und der Rechenweg?

\(\left|\int\limits_{-4}^{-2}F(x)\mathrm{d}x\right| + \left|\int\limits_{-2}^2F(x)\mathrm{d}x\right| + \left|\int\limits_{2}^4F(x)\mathrm{d}x\right|\)

von 57 k 🚀

Die FlĂ€che fĂŒr x<-2 und die FlĂ€che fĂŒr x>2 wird aber nicht von der X-Achse und dem Graphen eingeschlossen, das wird nur die FlĂ€che zwischen x=-2 und x=2.

A ist also nur das Integral in den Grenzen -2 und 2.

Die FlĂ€che wird durch Angabe der Intervallgrenzen eingeschlossen. WĂ€ren diese nicht angegeben, dann wĂŒrde ich dir Recht geben.

Hallo Oswald

Die von dir zusÀtzlich angegebene FlÀchen werden jeweils von den Bereichsgrenzen , der Funktion und der x-Achse eingeschlossen. Das ist richtig.

Doch das war nicht die Aufgabe.

Die Aufgabe war:

" ....die FlÀche, die von dem Graphen und der x-Achse im Intervall ( a, b ) eingeschlossen wird."

Es gibt also eine FlÀche, die vom Graphen und der X-Axhse eingeschlossen wird. Diese liegt im Intervall (a,b)

Dort steht nicht dass auch die senkrechten Geraden durch die Intervallgrenzen jeweils die beiden anderen FlÀchen eingrenzen sollen.

Folglich kann ich deine Auffassung leider nicht teilen.

Gruß, Hogat

@Hogar;

Wenn deine Auffassung richtig wÀre, dann brÀuchte man die Intervallgrenzen garnicht angeben.

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Du solltest auf eine FlÀche von 32 FE kommen.

Hier die Rechnung. Mache dir die Symmetrie zu nutze,

f(x) = 4 - x^2
F(x) = 4·x - 1/3·x^3

∫ (0 bis 2) f(x) dx = F(2) - F(0) = 16/3
∫ (2 bis 4) f(x) dx = F(4) - F(2) = -16/3 - 16/3 = -32/3

A = 2·(16/3 + 32/3) = 32

Hier eine Skizze.

blob.png

von 355 k 🚀

Die FlĂ€che fĂŒr x<-2 und die FlĂ€che fĂŒr x>2 wird aber nicht von der X-Achse und dem Graphen eingeschlossen, das wird nur die FlĂ€che zwischen x=-2 und x=2.

A ist also nur das Integral in den Grenzen -2 und 2.

Hallo Hogar,

Da hast du eigentlich recht. Allerdings finde ich es komisch, dass dann Intervallgrenzen vorgegeben sind.

Also geht es nur um die FlÀche die wirklich eingeschlossen wird ist es nur

A = 2·(16/3) = 32/3

Geht es um die FlÀche die im Intervall gebildet wird wÀre es meine obige Lösung.

Aufgrund der Aufgabenstellung wĂŒrde ich aber zu meiner Lösung tendieren, da ansonsten eine Aufstellung der Intervallgrenzen nicht nötig ist.

Hallo Mathecoach

Die Intervallgrenzen waren nötig damit der PrĂŒfling, die Funktion innerhalb des vorgegebenen Bereichs zeichnen kann.

Es war eine FlÀche gesucht und nicht drei FlÀchen. Wenn die Nullstellen schon angegeben worden wÀren, wurde die Aufgabe vermutlich als zu leicht empfunden.

Dass aber der Graph und die X-Achse eine FlĂ€che umschließen sollen, lĂ€sst fĂŒr mich keine andere Deutung zu.

Diese FlÀche liegt auch im angegebenen Bereich.

Sicherlich hast du VerstĂ€ndnis  dass ich deshalb auch bei meiner Meinung bleibe.

Gruß   Hogar

P.s. siehe auch meinen Kommentar zu Oswald Antwort.

Sicherlich hast du VerstÀndnis dass ich deshalb auch bei meiner Meinung bleibe.

DafĂŒr habe ich vollstes VerstĂ€ndnis. Ich gebe dir auch recht. Das habe ich oben aber auch schon geschrieben.

Wie gesagt ist liegt hier der Textliche Unterschied im Detail.

Es ist halt ein Unterscheid ob eine FlÀche in einem Intervall gebildet wird oder eingeschlossen wird.

Eingeschlossen ist tatsÀchlich nur die FlÀche im Intervall von -2 bis 2. Ich denke trotzdem das die Aufgabe anders gemeint aber nur vergehrt gestellt war, denn es wurde nicht gasagt das die Funktion in den Grenzen von a bis b zu zeichnen ist. Die Funktion sollte gezeichnet werden und dann sollte eine FlÀche berechnet werden.

Ich gehe davon aus das der Autor der Aufgabe hier die falsche Wortwahl getroffen hat und eher die FlÀche die im Intervall gebildet wird gemeint war.

Wie gesagt ansonsten brÀuchte man keine Intervallgrenzen angeben. Weder zum zeichnen noch um die eingeschlossene FlÀche zu berechnen.

Aber der Fragesteller kann das ja gerne mal mit dem Fachlehrer diskutieren und uns dann bescheid geben wie die Aufgabe wohl gemeint war.

Hallo Mathecoach,

Ich gehe nicht davon aus, dass es eine Frage ist, die ĂŒber Leben oder Tod entscheidet.

Ich denke , dass der Fragesteller uns eine Aufgabe mitgeteilt hat, die ihm als PrĂŒfungsaufgabe gestellt wurde.

Dazu denke ich, dass es nicht wichtig ist was der PrĂŒfer fĂŒr eine Antwort erwartet, sondern welches die mathematisch richtige Antwort zu der Frage ist .

An dieser Stelle aber eine kleine Geschichte, dabei muss ich ein Vergehen oder war es eine Straftat einrĂ€umen die aber hoffentlich verjĂ€hrt ist. Es geschah Ende der Siebziger in der Fachhochschule. Eine junge Frau, hatte solch eine Angst vor der PhysikprĂŒfung, dass ich ihr angeboten habe, dass ich fĂŒr sie die Aufgabe lösen könnte, die sie nicht lösen kann , wenn es ihr gelĂ€nge dass ich diese Aufgabe bekomme und einen Weg findet, dann an die Lösung zu kommen. Wie auch immer, es gelang uns. Dann kam die Aufgabe, mit der ich mich vorher nicht beschĂ€ftigt hatte. Es ging um die Brennweitenbestimmung von dicken optischen Linsen. Wie gesagt, ich hatte keine Ahnung. Also habe ich alles genommen was ich wusste, in den Topf geworfen, und so lange gerĂŒhrt, bis ein Lösung herauskam.

Diese Frau war in der Lage, meine Lösung abzuschreiben. Doch dann geschah etwas Unvorhergesehenes meine Lösung war angeblich falsch.

Ich war darĂŒber sehr betroffen und ging mit der Arbeit zum Dozenten, ich log, dass diese Frau mich vor der Arbeit in meinen Turatorium gefragt hĂ€tte wie diese Aufgabe zu lösen sei und ich ihr genau diese Lösung gezeigt hĂ€tte, dass ich aber nicht erkennen kann, wo der Fehler ist. Der Dozent war sehr in Eile, gab mir aber seine Musterlösung. Beim  Vergleich stellte ich fest, dass wir beide die gleichen Grundgedanken hatten, dass er sich aber einmal beim Vorzeichen vertan hatte. Ich also wieder zum Dozenten.

Dieser erkannte zwar den Fehler, sagte aber dass fĂŒr ihn das physikalische VerstĂ€ndnis darin besteht, eine Formel zu bekommen und diese auch anzuwenden. Wollte die Beurteilung der Arbeit also nicht Ă€ndern. Nun denke ich ĂŒber das physikalische VerstĂ€ndnis bis heute zwar anders, doch war mir auch bewusst, dass diese Frau einer ÜberprĂŒfung ihrer physikalischen FĂ€higkeiten nicht standhalten wĂŒrde. Darum habe ich schweren Herzens die Sache nicht weiter verfolgt. War aber froh , dass ich nicht den Fehler gemacht dass ich mir außer meines Vergehen nichts vorwerfen musste.

Gruß, Hogar

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Hallo,

die Funktionsskizze mit der FlÀchenberechnung sieht wie folgt aus: geogebra-export (2).png

Berechnung der Stammfunktion:
$$\int 4-x^2 \;\mathrm{d}x=4\cdot \int 1 \;\mathrm{d}x - \int x^2\;\mathrm{d}x=4\cdot x-\frac{x^3}{3}=4x-\frac{x^3}{3}$$ Daraus folgt, dass \(F(x)=4x-\frac{x^3}{3}\) die Stammfunktion ist. Jetzt musst du noch die Grenzen \(4\), \(-4\) einsetzen und ausrechnen. Dann hast du den FlĂ€cheninhalt! Denke daran, dass du bei jeder Nullstelle das Integral aufteilen musst: $$A := \int_{-4}^{4} 4-x^2\;\mathrm{d}x=\left\lvert\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_{-4}^{-2}\right\rvert+\left\lvert\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2}\right\rvert+\left\lvert\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_{2}^{4}\right\rvert,$$ wobei \(A\) der gesuchte FlĂ€cheninhalt sein soll.

von 1,7 k

Die FlĂ€che fĂŒr x<-2 und die FlĂ€che fĂŒr x>2 wird aber nicht von der X-Achse und dem Graphen eingeschlossen, das wird nur die FlĂ€che zwischen x=-2 und x=2.

A ist also nur das Integral in den Grenzen -2 und 2.

Hallo Hogar,

die Aufgabe war aber die eingeschlossene FlÀche von -4 bis 4 zu berechnen. Von -4 bis -2 und von 2 bis 4 gibt es auch eine eingeschlossene FlÀche unterhalb der x-Achse.

Hallo Doesbaddel,

Die Aufgabe war:
" ....die FlÀche, die von dem Graphen und der x-Achse im Intervall ( a, b ) eingeschlossen wird." Zu markieren und zu berechnen.


Es gibt also eine FlÀche, die vom Graphen und der X-Axhse eingeschlossen wird. Diese liegt im Intervall (a,b)
Dort steht nicht dass auch die senkrechten Geraden durch die Intervallgrenzen jeweils die beiden anderen FlÀchen eingrenzen sollen.
Folglich kann ich deine Auffassung leider nicht teilen.

Gruß Hogar

P.s. siehe auch meine Kommentare zu den Antworten von Oswald und Mathecoach

Ich verstehe deine Herangehensweise. Leider ist die Aufgabe ein wenig undeutlich gestellt und deshalb haben auch andere Mitglieder diesen Lösungsansatz gewĂ€hlt, weil es sonst keinen Sinn machen wĂŒrde, die Grenzen a und b anzugeben. (Vielleicht als Verwirrung oder aber es war ein Fehler?) Es wĂ€re schön, wenn der Fragesteller uns aufklĂ€ren könnte, welcher Ansatz denn richtig ist.

GrĂŒĂŸe, Doesbaddel

Hallo Doesbaddel

Was der Fragesteller denkt, ist wie ich finde unerheblich, hier geht es nicht um den sicheren Bau einer BrĂŒcke.

Wenn die Aufgabe gestellt wurde, Wieviel ist 3^3^3, dann antworte ich doch auch nicht

(3^3)^3= 3^9 weil der Aufgabensteller die Klammern vergessen hat, sondern

 3^3^3=3^27 weil die Regel eben so ist.

Wenn in einem Heuhaufen eine Nadel gesucht wird, dann antworte ich doch nicht, dass der ganze Heuhaufen voller Nadeln ist, sondern ich versuche den Bereich einzugrenzen, in dem sich die Nadel befinden könnte.

So verhÀlt es sich mit dem Intervall.

Durch die Nullstellenberechnung wurde der Bereich eingeschrÀnkt, in dem sich die FlÀche befindet.alles andere sind keine FlÀchen, die vom Graphen und der X-Achse eingeschlossen werden.

Das ist doch das schöne an der Mathematik, dass es oft keine Rolle spielt, wer etwas behauptet, da es Wege gibt, diese Aussage zu bestÀtigen oder zu verwerfen.

Gruß, Hogar

Hallo,

du hast Recht. Ich habe die Aufgabe dann wohl falsch verstanden gehabt ...

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Es ist die Einheitsparabel ,  nur dass sie nach unten offen ist ( das Minus vor dem xÂČ)  und der Scheitelpunkt bei x=0 und y=4 liegt ( f(x=0)= 4)

f(-2)=0=f(2)

Diese ist symetrisch, eingeschlossen wird aber nur der Bereich zwischen -2  und +2

folglich geht es um das Integral

A= 2* \( \int\limits_{0}^{2} \) 4 -xÂČ dx=

2*(4x - 1/3 xÂł ) zwischen 0 bis 2

= 2*(4*2 - 1/3 * 8)=2* 8*2/3=32/3

=10 2/3

Eine Einheit wurde nicht angegeben.

von 4,4 k

Hallo Hogar,

das Ding heißt Normalparabel. Außerdem ist deine FlĂ€chenberechnung unvollstĂ€ndig. Guck dir mal die Abbildung vom Coach an.

:-)

Die FlĂ€che fĂŒr x<-2 und die FlĂ€che fĂŒr x>2 wird aber nicht von der X-Achse und dem Graphen eingeschlossen, das wird nur die FlĂ€che zwischen x=-2 und x=2.

A ist also nur das Integral in den Grenzen -2 und 2.

Hallo Hogar,

das siehst du meiner Meinung nach falsch. Zwar könnten noch die beiden Geraden mit x=4 und x=-4 als Begrenzung mit genannt werden, aber das wird meistens nicht gemacht.

:-)

Hallo MontyPython,

Das mit der Normparabel kann ich annehmen  doch bei den Grenzen der Integration bleibe ich bei meiner Auffassung, siehe dazu auch meine Kommentare zu den anderen Antworten (Oswald  , Mathecoach und Doesbaddel)

Gruß   Hogar

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