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Aufgabe:

Skizzieren Sie jeweils den Grphen der Funktion und markieren Sie die Fläche, die von dem Graphen und der x-Achse im Intervall ( a, b ) eingeschlossen wird. Geben Sie einen Schätzwert für den Flächeninhalt an und berechnen Sie dann die Fläche.

F(x)=4-x^2; a=-4, b=4


Problem/Ansatz:

Ich berechne erst die Nullstellen, die sind: x=2, x1=-2

Wie sieht aber die Zeichnung aus und der Rechenweg?

Bitte um Hilfe

von

5 Antworten

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∫(4x-x^2) von -2 bis 2= [4x-x^3/3] von -2 bis 2 = 4*2-2^3/3 -(4*(-2)-(-2)^3/3)) = ...

von 81 k 🚀
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Wie sieht aber die Zeichnung aus

Eine nach unten geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt (0|4), die die x-Achse an den Stellen -2 und 2 schneidet.

Du musst dringend wiederholen, wie man quadratische Funktionen zeichnet, insbesondere wie man den Scheitelpunkt bestimmt.

und der Rechenweg?

\(\left|\int\limits_{-4}^{-2}F(x)\mathrm{d}x\right| + \left|\int\limits_{-2}^2F(x)\mathrm{d}x\right| + \left|\int\limits_{2}^4F(x)\mathrm{d}x\right|\)

von 105 k 🚀

Die Fläche für x<-2 und die Fläche für x>2 wird aber nicht von der X-Achse und dem Graphen eingeschlossen, das wird nur die Fläche zwischen x=-2 und x=2.

A ist also nur das Integral in den Grenzen -2 und 2.

Die Fläche wird durch Angabe der Intervallgrenzen eingeschlossen. Wären diese nicht angegeben, dann würde ich dir Recht geben.

Hallo Oswald

Die von dir zusätzlich angegebene Flächen werden jeweils von den Bereichsgrenzen , der Funktion und der x-Achse eingeschlossen. Das ist richtig.

Doch das war nicht die Aufgabe.

Die Aufgabe war:

" ....die Fläche, die von dem Graphen und der x-Achse im Intervall ( a, b ) eingeschlossen wird."

Es gibt also eine Fläche, die vom Graphen und der X-Axhse eingeschlossen wird. Diese liegt im Intervall (a,b)

Dort steht nicht dass auch die senkrechten Geraden durch die Intervallgrenzen jeweils die beiden anderen Flächen eingrenzen sollen.

Folglich kann ich deine Auffassung leider nicht teilen.

Gruß, Hogat

@Hogar;

Wenn deine Auffassung richtig wäre, dann bräuchte man die Intervallgrenzen gar nicht angeben.

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Du solltest auf eine Fläche von 32 FE kommen.

Hier die Rechnung. Mache dir die Symmetrie zu nutze,

f(x) = 4 - x^2
F(x) = 4·x - 1/3·x^3

∫ (0 bis 2) f(x) dx = F(2) - F(0) = 16/3
∫ (2 bis 4) f(x) dx = F(4) - F(2) = -16/3 - 16/3 = -32/3

A = 2·(16/3 + 32/3) = 32

Hier eine Skizze.

blob.png

von 477 k 🚀

Die Fläche für x<-2 und die Fläche für x>2 wird aber nicht von der X-Achse und dem Graphen eingeschlossen, das wird nur die Fläche zwischen x=-2 und x=2.

A ist also nur das Integral in den Grenzen -2 und 2.

Hallo Hogar,

Da hast du eigentlich recht. Allerdings finde ich es komisch, dass dann Intervallgrenzen vorgegeben sind.

Also geht es nur um die Fläche die wirklich eingeschlossen wird ist es nur

A = 2·(16/3) = 32/3

Geht es um die Fläche die im Intervall gebildet wird wäre es meine obige Lösung.

Aufgrund der Aufgabenstellung würde ich aber zu meiner Lösung tendieren, da ansonsten eine Aufstellung der Intervallgrenzen nicht nötig ist.

Hallo Mathecoach

Die Intervallgrenzen waren nötig damit der Prüfling, die Funktion innerhalb des vorgegebenen Bereichs zeichnen kann.

Es war eine Fläche gesucht und nicht drei Flächen. Wenn die Nullstellen schon angegeben worden wären, wurde die Aufgabe vermutlich als zu leicht empfunden.

Dass aber der Graph und die X-Achse eine Fläche umschließen sollen, lässt für mich keine andere Deutung zu.

Diese Fläche liegt auch im angegebenen Bereich.

Sicherlich hast du Verständnis  dass ich deshalb auch bei meiner Meinung bleibe.

Gruß   Hogar

P.s. siehe auch meinen Kommentar zu Oswald Antwort.

Sicherlich hast du Verständnis dass ich deshalb auch bei meiner Meinung bleibe.

Dafür habe ich vollstes Verständnis. Ich gebe dir auch recht. Das habe ich oben aber auch schon geschrieben.

Wie gesagt ist liegt hier der Textliche Unterschied im Detail.

Es ist halt ein Unterscheid ob eine Fläche in einem Intervall gebildet wird oder eingeschlossen wird.

Eingeschlossen ist tatsächlich nur die Fläche im Intervall von -2 bis 2. Ich denke trotzdem das die Aufgabe anders gemeint aber nur vergehrt gestellt war, denn es wurde nicht gasagt das die Funktion in den Grenzen von a bis b zu zeichnen ist. Die Funktion sollte gezeichnet werden und dann sollte eine Fläche berechnet werden.

Ich gehe davon aus das der Autor der Aufgabe hier die falsche Wortwahl getroffen hat und eher die Fläche die im Intervall gebildet wird gemeint war.

Wie gesagt ansonsten bräuchte man keine Intervallgrenzen angeben. Weder zum zeichnen noch um die eingeschlossene Fläche zu berechnen.

Aber der Fragesteller kann das ja gerne mal mit dem Fachlehrer diskutieren und uns dann bescheid geben wie die Aufgabe wohl gemeint war.

Ich gehe nicht davon aus, dass es eine Frage ist, die über Leben oder Tod entscheidet.

Ich denke , dass der Fragesteller uns eine Aufgabe mitgeteilt hat, die ihm als Prüfungsaufgabe gestellt wurde.

Dazu denke ich, dass es nicht wichtig ist was der Prüfer für eine Antwort erwartet, sondern welches die mathematisch richtige Antwort zu der Frage ist .

An dieser Stelle aber eine kleine Geschichte, dabei muss ich ein Vergehen oder war es eine Straftat einräumen die aber hoffentlich verjährt ist. Es geschah Ende der Siebziger in der Fachhochschule. Eine junge Frau, hatte solch eine Angst vor der Physikprüfung, dass ich ihr angeboten habe, dass ich für sie die Aufgabe lösen könnte, die sie nicht lösen kann , wenn es ihr gelänge dass ich diese Aufgabe bekomme und einen Weg findet, dann an die Lösung zu kommen. Wie auch immer, es gelang uns. Dann kam die Aufgabe, mit der ich mich vorher nicht beschäftigt hatte. Es ging um die Brennweitenbestimmung von dicken optischen Linsen. Wie gesagt, ich hatte keine Ahnung. Also habe ich alles genommen was ich wusste, in den Topf geworfen, und so lange gerührt, bis ein Lösung herauskam.

Diese Frau war in der Lage, meine Lösung abzuschreiben. Doch dann geschah etwas Unvorhergesehenes meine Lösung war angeblich falsch.

Ich war darüber sehr betroffen und ging mit der Arbeit zum Dozenten, ich log, dass diese Frau mich vor der Arbeit in meinen Turatorium gefragt hätte wie diese Aufgabe zu lösen sei und ich ihr genau diese Lösung gezeigt hätte, dass ich aber nicht erkennen kann, wo der Fehler ist. Der Dozent war sehr in Eile, gab mir aber seine Musterlösung. Beim  Vergleich stellte ich fest, dass wir beide die gleichen Grundgedanken hatten, dass er sich aber einmal beim Vorzeichen vertan hatte. Ich also wieder zum Dozenten.

Dieser erkannte zwar den Fehler, sagte aber dass für ihn das physikalische Verständnis darin besteht, eine Formel zu bekommen und diese auch anzuwenden. Wollte die Beurteilung der Arbeit also nicht ändern. Nun denke ich über das physikalische Verständnis bis heute zwar anders, doch war mir auch bewusst, dass diese Frau einer Überprüfung ihrer physikalischen Fähigkeiten nicht standhalten würde. Darum habe ich schweren Herzens die Sache nicht weiter verfolgt. War aber froh , dass ich nicht den Fehler gemacht dass ich mir außer meines Vergehen nichts vorwerfen musste.

Gruß, Hogar

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Hallo,

die Funktionsskizze mit der Flächenberechnung sieht wie folgt aus: geogebra-export (2).png

Berechnung der Stammfunktion:
$$\int 4-x^2 \;\mathrm{d}x=4\cdot \int 1 \;\mathrm{d}x - \int x^2\;\mathrm{d}x=4\cdot x-\frac{x^3}{3}=4x-\frac{x^3}{3}$$ Daraus folgt, dass \(F(x)=4x-\frac{x^3}{3}\) die Stammfunktion ist. Jetzt musst du noch die Grenzen \(4\), \(-4\) einsetzen und ausrechnen. Dann hast du den Flächeninhalt! Denke daran, dass du bei jeder Nullstelle das Integral aufteilen musst: $$A := \int_{-4}^{4} 4-x^2\;\mathrm{d}x=\left\lvert\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_{-4}^{-2}\right\rvert+\left\lvert\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2}\right\rvert+\left\lvert\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_{2}^{4}\right\rvert,$$ wobei \(A\) der gesuchte Flächeninhalt sein soll.

von 2,1 k

Die Fläche für x<-2 und die Fläche für x>2 wird aber nicht von der X-Achse und dem Graphen eingeschlossen, das wird nur die Fläche zwischen x=-2 und x=2.

A ist also nur das Integral in den Grenzen -2 und 2.

Hallo Hogar,

die Aufgabe war aber die eingeschlossene Fläche von -4 bis 4 zu berechnen. Von -4 bis -2 und von 2 bis 4 gibt es auch eine eingeschlossene Fläche unterhalb der x-Achse.

Hallo Doesbaddel,

Die Aufgabe war:
" ....die Fläche, die von dem Graphen und der x-Achse im Intervall ( a, b ) eingeschlossen wird." Zu markieren und zu berechnen.


Es gibt also eine Fläche, die vom Graphen und der X-Axhse eingeschlossen wird. Diese liegt im Intervall (a,b)
Dort steht nicht dass auch die senkrechten Geraden durch die Intervallgrenzen jeweils die beiden anderen Flächen eingrenzen sollen.
Folglich kann ich deine Auffassung leider nicht teilen.

Gruß Hogar

P.s. siehe auch meine Kommentare zu den Antworten von Oswald und Mathecoach

Ich verstehe deine Herangehensweise. Leider ist die Aufgabe ein wenig undeutlich gestellt und deshalb haben auch andere Mitglieder diesen Lösungsansatz gewählt, weil es sonst keinen Sinn machen würde, die Grenzen a und b anzugeben. (Vielleicht als Verwirrung oder aber es war ein Fehler?) Es wäre schön, wenn der Fragesteller uns aufklären könnte, welcher Ansatz denn richtig ist.

Grüße, Doesbaddel

Hallo Doesbaddel

Was der Fragesteller denkt, ist wie ich finde unerheblich, hier geht es nicht um den sicheren Bau einer Brücke.

Wenn die Aufgabe gestellt wurde, Wieviel ist 3^3^3, dann antworte ich doch auch nicht

(3^3)^3= 3^9 weil der Aufgabensteller die Klammern vergessen hat, sondern

 3^3^3=3^27 weil die Regel eben so ist.

Wenn in einem Heuhaufen eine Nadel gesucht wird, dann antworte ich doch nicht, dass der ganze Heuhaufen voller Nadeln ist, sondern ich versuche den Bereich einzugrenzen, in dem sich die Nadel befinden könnte.

So verhält es sich mit dem Intervall.

Durch die Nullstellenberechnung wurde der Bereich eingeschränkt, in dem sich die Fläche befindet.alles andere sind keine Flächen, die vom Graphen und der X-Achse eingeschlossen werden.

Das ist doch das schöne an der Mathematik, dass es oft keine Rolle spielt, wer etwas behauptet, da es Wege gibt, diese Aussage zu bestätigen oder zu verwerfen.

Gruß, Hogar

Hallo,

du hast Recht. Ich habe die Aufgabe dann wohl falsch verstanden gehabt ...

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Es ist die Einheitsparabel ,  nur dass sie nach unten offen ist ( das Minus vor dem x²)  und der Scheitelpunkt bei x=0 und y=4 liegt ( f(x=0)= 4)

f(-2)=0=f(2)

Diese ist symmetrisch, eingeschlossen wird aber nur der Bereich zwischen -2  und +2

folglich geht es um das Integral

A= 2* \( \int\limits_{0}^{2} \) 4 -x² dx=

2*(4x - 1/3 x³ ) zwischen 0 bis 2

= 2*(4*2 - 1/3 * 8)=2* 8*2/3=32/3

=10 2/3

Eine Einheit wurde nicht angegeben.

von 11 k

Hallo Hogar,

das Ding heißt Normalparabel. Außerdem ist deine Flächenberechnung unvollständig. Guck dir mal die Abbildung vom Coach an.

:-)

Die Fläche für x<-2 und die Fläche für x>2 wird aber nicht von der X-Achse und dem Graphen eingeschlossen, das wird nur die Fläche zwischen x=-2 und x=2.

A ist also nur das Integral in den Grenzen -2 und 2.

Hallo Hogar,

das siehst du meiner Meinung nach falsch. Zwar könnten noch die beiden Geraden mit x=4 und x=-4 als Begrenzung mit genannt werden, aber das wird meistens nicht gemacht.

:-)

Hallo MontyPython,

Das mit der Normparabel kann ich annehmen  doch bei den Grenzen der Integration bleibe ich bei meiner Auffassung, siehe dazu auch meine Kommentare zu den anderen Antworten (Oswald  , Mathecoach und Doesbaddel)

Gruß   Hogar

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