Integral, Dichte, Grenzen bestimmen

Question

Aufgabe:

Kann mir eine helfen wie man anfängt

Problem/Ansatz:

$$\begin{aligned}M=\left\{ \left| x,y,z,\in \mathbb{R} ^{3}\right| x^{2}+y^{2}\leq z^{4},\right\} \\ \left\{ 0\leq z\leq 1\right\} M\rightarrow \mathbb{R} ,\left( x,y,z\right) \rightarrow 2z\end{aligned}$$

Comments

Unglücklichsterweise wird deine Formel/Funktion
bei mir nicht dargestellt

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Ich habe das repariert.

@A-b-c $\TeX$ in \( und \) für inline oder in $$ für displaymath einschließen

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$$M = \left\{ x,y,z \in \mathbb{R}^3\quad\vert\quad x^2+y^2\leq z^4,\quad 0\leq z\leq 1\right\} \\[10pt] M \rightarrow \mathbb{R},\quad \left( x,y,z\right) \mapsto 2z$$

Answer 1

Aloha :)

Das Problem ist hier die geschickte Parametrisierung der Menge $M$. Parallel zur $xy$-Ebene haben wir es mit Kreisen zu tun, die den Radius $z^2$ haben. Daher bieten sich Zylinderkoordinaten an:$$\vec r=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;z^2]\;;\;\varphi\in[0;2\pi[\;;\;z\in[0;1]$$Das Volumenelement transformiert sich beim Übergang zu Zylinderkoordinaten wie folgt:$$dV=dx\,dy\,dz=r\,dr\,d\varphi\,dz$$Damit haben wir alles, was für das Integral brauchen:$$I=\iiint\limits_M 2z\,dV=\int\limits_0^{1}dz\int\limits_0^{z^2}dr\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\,r\, 2z=\int\limits_0^{1}2z\,dz\int\limits_0^{z^2}r\,dr\int\limits_0^{2\pi}d\varphi$$Beachte, dass hier die Integrationsreihenfolge nicht beliebig ist. Da die obere Grenze von $dr$ von $z$ abhängt, müssen wir zuerst über $dr$ und danach erst über $dz$ integrieren. Das Integral über $d\varphi$ können wir direkt als $2\pi$ hinschreiben:$$I=2\pi\int\limits_0^{1}2z\,dz\int\limits_0^{z^2}r\,dr=2\pi\int\limits_0^{1}2z\,dz\left[\frac{r^2}{2}\right]_{r=0}^{z^2}=2\pi\int\limits_0^{1}2z\,dz\,\frac{z^4}{2}$$$$\phantom{I}=2\pi\int\limits_0^1z^5\,dz=2\pi\left[\frac{z^6}{6}\right]_{z=0}^1=2\pi\cdot\frac{1}{6}=\frac{\pi}{3}$$