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Aufgabe:

Zeige durch vollständige Induktion, dass 7n− 1 für alle n∈N durch 6 teilbar ist.

Was ist hier die Vorgehensweise, wie löst man so ein Beispiel?

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Zz.: 7n− 1 für alle n∈N durch 6 teilbar ist.

Induktionsanfang: n=1n=1: 7110(mod6)7^1-1\equiv 0 \pmod{6}\quad \checkmark
Induktionsvoraussetzung IV: 7n17^n-1 ist für beliebig festes nn durch 66 teilbar.
Induktionsschritt: Zu zeigen ist: 7n+117^{n+1}-1 durch 6 teilbar

7n+11=77n1   IV, 7n1 ist ganzz. teilbar durch 670(mod6)0(mod6)   ganzz. Rest ist 0, also ...    6(7n+11)  ... 6 teilt 7n+11\begin{aligned}7^{n+1}-1&=7\cdot 7^{n}-1&&\lvert\; \text{ IV, } 7^n-1\text{ ist ganzz. teilbar durch } 6\\&\equiv 7\cdot 0 \pmod{6} \\&\equiv 0\pmod{6}&&\lvert\; \text{ ganzz. Rest ist } 0 \text{, also ...}\\&\iff 6\mid \left(7^{n+1}-1\right)&&\lvert\; \text{... }6 \text{ teilt } 7^{n+1}-1\end{aligned} Also 7n+117^{n+1}-1 ist durch 6 teilbar und die Aussage ist bewiesen.

Kleine Hinweise:
xyx \mid y mit x,yZx,y\in\mathbb{Z} bedeutet xx teilt yy genau dann, wenn es eine ganze Zahl kk gibt mit xk=yx\cdot k= y.

ab(modn)a\equiv b \pmod{n} für a,b,nZa,b,n\in\mathbb{Z} bedeutet: Es gibt eine ganze Zahl kk mit a=kn+ba=k\cdot n +b , also bei der ganzzahligen Division von aa durch nn bleibt ein Rest von bb. Wenn der Rest b=0b=0 ist, wissen wir, dass die Zahl (ganzzahlig) teilbar durch nn ist.

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Schluss von n auf n+1:

Induktionsvoraussetzung: 7n-1 ist teilbar durch 6.

Dann ist auch 7·(7n-1)+6 teilbar durch 6. (Das um 6 vermehrte Siebenfache einer durch 6 teilbaren Zahl ist durch 6 teilbar)

Weil 7·(7n-1)+6= 7n+1-1 gilt jetzt:

7n+1-1 ist teilbar durch 6.

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Hallo Roland,

Vorsicht: 7n+17=7(7n1)77n1=7n+117^{n+1}-7=7\cdot (7^n-1)\neq 7\cdot 7^n-1=7^{n+1}-1

7n+11=77n1=(6+1)7n1=67n+(7n1) 7^{n+1}-1 = 7\cdot 7^n -1 = \left(6+1\right)\cdot 7^n-1 = 6\cdot 7^n +\left(7^n-1\right) Der erste Summand ist als offensichtliches Vielfaches von 6 durch 6 teilbar, der zweite nach Induktionsvoraussetzung.

@Doesbaddel

-7+6=-1

Alles klar, habe das zu schnell überflogen. Danke und Entschuldigung.

Ich werde mir angewöhnen mehr Zeit aufzuwenden, bevor ich einen Kommentar schreibe.

Titan hast du noch Fragen zur Aufgabe oder hast du alles verstanden?

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Ind Anf.

66 6| 66(711)6|(7^1-1)

Ind Annahme

6(7n1) 6| (7^n-1)6((7n1)(71))6| ((7^n-1)*(7-1))6(7(n+1)77n+1)6| (7^{(n+1)} -7 -7^n+1)6(7(n+1)17+17n+1)6| (7^{(n+1)} -1 -7 +1-7^n+1)6((7(n+1)1)(71)(7n1))6| ((7^{(n+1)} -1)-(7-1)-(7^n-1))6(7(n+1)1)6| (7^{(n+1)} -1)

Ind. Schluss

wzzw

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Zu zeigen

6 | 7n - 1


Induktionsanfang: n = 1

6 | 71 - 1 → wahr


Induktionsschritt: n → n + 1

6 | 7^(n + 1) - 1
6 | 7·7n - 1
6 | 6·7n + (7n - 1) --> Die Summe ist durch 6 teilbar, weil jeder Summand durch 6 teilbar ist.

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