Zz.: 7n− 1 für alle n∈N durch 6 teilbar ist.
Induktionsanfang: n=1: 71−1≡0(mod6)✓
Induktionsvoraussetzung IV: 7n−1 ist für beliebig festes n durch 6 teilbar.
Induktionsschritt: Zu zeigen ist: 7n+1−1 durch 6 teilbar
7n+1−1=7⋅7n−1≡7⋅0(mod6)≡0(mod6)⟺6∣(7n+1−1)∣ IV, 7n−1 ist ganzz. teilbar durch 6∣ ganzz. Rest ist 0, also ...∣... 6 teilt 7n+1−1 Also 7n+1−1 ist durch 6 teilbar und die Aussage ist bewiesen.
Kleine Hinweise:
x∣y mit x,y∈Z bedeutet x teilt y genau dann, wenn es eine ganze Zahl k gibt mit x⋅k=y.
a≡b(modn) für a,b,n∈Z bedeutet: Es gibt eine ganze Zahl k mit a=k⋅n+b, also bei der ganzzahligen Division von a durch n bleibt ein Rest von b. Wenn der Rest b=0 ist, wissen wir, dass die Zahl (ganzzahlig) teilbar durch n ist.