Geben Sie die größtmögliche Wahl für den Parameter an, sodass a_n konvergent ist

Question

Gegeben sei die reelle Zahlenfolge (a_n)_n∈ℕ  mit

a_n = n^p + 2n³ + 5/ 2n⁵ + 3n²  +1

für einen Parameter p ∈ℕ. Geben Sie die größtmögliche Wahl für den Parameter p an, sodass (a_n)_n∈ℕ eine konvergente Folge ist.

Hat jemand eine Ahnung, wie ich das zu berechnen habe ?

Answer 1

Hallo,

du meinst vermutlich \(\Large a_n=\frac{n^p+2n^3+5}{2n^5+3n^2+1}\). Klammere \(n^5\) im Nenner und Zähler aus und kürze:$$\Large a_n=\frac{n^{p-5}+\frac{2}{n^2}+\frac{5}{n^5}}{2+\frac{3}{n^3}+\frac{1}{n^5}}$$ Hier siehst du vier Nullfolgen und eine Konstante. Damit \(a_n\) konvergiert, muss \(p\leq 5\) sein. Für \(p<5\) konvergiert \(a_n\to 0\) für \(n\to \infty\). Im Spezialfall \(p=5\), konvergiert \(a_n\to 0.5\) für \(n\to \infty\).

Comments

und woran erkenne ich, dass p ≤ 5 sein muss ? und ist wenn p≤ 5 ist automatisch auch p= 5?

Danke dir !

---

Wenn \(n\) bis ins Unermessliche größer wird, dann werden \(\frac{2}{n^2}, \frac{5}{n^5}, \frac{3}{n^3}, \frac{1}{n^5}\) unendlich klein. Das einzige, was dann noch ausschlaggebend ist, ist \(n^{p-5}\). \(n^{p-5}\) wächst, wenn \(p>5\), weil du dann \(n,n^2,n^3,n^4,...\) und so weiter hast.

\(p\leq 5\) heißt p kleiner oder gleich 5.