Probleme bei Umformung ln(x)

Question

Aufgabe:

$\begin{aligned} \lim \limits_{x \rightarrow 2}\left(\frac{x}{x-2}-\frac{1}{\ln \left(\frac{x}{2}\right)}\right) &=\lim \limits_{x \rightarrow 2} \frac{x \ln \left(\frac{x}{2}\right)-(x-2)}{(x-2) \ln \left(\frac{x}{2}\right)} \\ &=\lim \limits_{x \rightarrow 2} \frac{\ln \left(\frac{x}{2}\right)+x \frac{1}{x}-1}{\ln \left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x-2}{x}} \end{aligned}$

Text erkannt:

$\begin{aligned} \lim \limits_{x \rightarrow 2}\left(\frac{x}{x-2}-\frac{1}{\ln \left(\frac{x}{2}\right)}\right) &=\lim \limits_{x \rightarrow 2} \frac{x \ln \left(\frac{x}{2}\right)-(x-2)}{(x-2) \ln \left(\frac{x}{2}\right)} \\ &=\lim \limits_{x \rightarrow 2} \frac{\ln \left(\frac{x}{2}\right)+x \frac{1}{x}-1}{\ln \left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x-2}{x}} \end{aligned}$

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nur die Umformung nicht, kann mir jemand vielleicht zeigen, wie man von der ersten Zeile in die zweite kommt? Wäre unendlich dankbar für jede Hilfe!

Answer 1

Hallo

erste Zeile nur auf den Hauptnenner gebracht , 2. Zeile nicht umgeformt sonder L'Hopital angewandt, also Z und N einzeln abgeleitet.

(endlich dankbar reicht mir!)

lul

Answer 2

Es wurde der L'Hospital angewendet.

Zähler und Nenner getrennt ableiten!

Answer 3

Wie man darauf kommt ist egal, Hauptsache ist, das es richtig ist, und das ist es, denn

zu zeigen ist das der Quotient gleich 1 ist, dh dass dann Zähler = Nenner nach der Multiplikation mit dem Kehrwert.


$$(x−2)ln( x/2)*$$$$(ln(x/2)+x*1/x-1)=$$$$(xln(x/2)-(x-2))*$$$$(ln(x/2)+(x-2)/x)$$
$$(x−2)(ln( x/2))^2=$$$$(x(ln(x/2)^2-2*ln(x/2)$$

$$(x−2)(ln( x/2))^2=$$$$(x−2)(ln( x/2))^2$$ wzzw