Aufgabe:
Bestimmen Sie die Ableitung folgender Funktion: f(x)= e^-x * (x2 - 4)
Problem/Ansatz:
ich habe ein kleines Problem bei der Aufgabe f(x), und zwar weiß ich nicht genau wie ich vorgehen muss.
Mein Ansatz wäre die Produktregel.
Danke für eure Hilfe
Vg
e ^(-x) * (x2 - 4) ( u * v ) ´ = u´ * v + u * v ´u = e ^(-x) u´ = - e ^(-x)v = x2 - 4v ´ = 2x
u´ * v + u * v ´- e ^(-x) * ( x2 - 4 ) + e ^(-x) * 2x e ^(-x) * [ - ( x2 - 4 ) + 2x ]e ^(-x) * [ - x 2 + 4 + 2x ]
Zum merken( e term ) ´ = e term * ( term ´ )
Ausklammern4 * 3 + 4 * 24 * ( 3 + 2 )
Ja. Verfolge diesen Ansatz.
hallo muss ich dann um e^-x abzuleiten die kettenregel nutzten?
Korrekt.
ich hab als Lösung: f'(x) =2x * e^-x + x2 - 4 * e^-x * (-1)
Ist das korrekt?
Wenn man großzügig über eine fehlende Klammer hinwegsieht: Ja.
Jetzt klammere noch für die nachfolgenden Rechnungen den gemeinsamen Faktor e^-x aus.
wie meinst du das?
Wie meinst DU das?
Hast du ein Problem mit "fehlende Klammer" oder mit "ausklammern"?
Hallo Pacman,
es fehlt die Klammer um x2−4x^2-4x2−4
f′(x)=2x⋅e−x+(x2−4)⋅e−x⋅(−1)=e−x⋅(2x−x2+4)f'(x) =2x \cdot e^{-x} + (x^2 - 4) \cdot e^{-x} \cdot (-1)\\ =e^{-x}\cdot(2x-x^2+4)f′(x)=2x⋅e−x+(x2−4)⋅e−x⋅(−1)=e−x⋅(2x−x2+4)
Merke dir folgende Ableitungsregel:
f(x)=ekxf′(x)=kekxf(x) = e^{kx}\qquad f'(x)=ke^{kx}f(x)=ekxf′(x)=kekx
also meinst du jetzt mit ausklammern die beiden e zusammen zu (e^-x)2
hab ein Problem mit fehlende klammern
e−xe^{-x}e−x wird einmal multipliziert mit 2x und einmal mit −x2+4-x^2+4−x2+4
Also schreibst du e−2xe^{-2x}e−2x vor die Klammer und den Rest darein. Jetzt klar?
Oder stell dir vor:
2x · a + 2x · (b + 3) = 2x · (a+b+3)
also lautet die 1. Ableitung e^-2x * (2x + x2 - 4 * (-1)) ?
Ein "2x" ist zuviel und die -1 habe ich schon eingerechnet:
=e−x⋅(2x−x2+4)=e^{-x}\cdot(2x-x^2+4)=e−x⋅(2x−x2+4)
Aloha :)
Die Produkt-Regel in Verbindung mit der Ketten-Regel ist hier eine sehr gute Idee:
f′(x)=[e−x⏟=u⋅(x2−4)⏟=v]′=e−x⏞=a¨ußere⋅(−1)⏞=innere⏟=u′⋅(x2−4)⏟=v+e−x⏟=u⋅2x⏟=v′f'(x)=[\underbrace{e^{-x}}_{=u}\cdot\underbrace{(x^2-4)}_{=v}]'=\underbrace{\overbrace{e^{-x}}^{=\text{äußere}}\cdot\overbrace{(-1)}^{=\text{innere}}}_{=u'}\cdot\underbrace{(x^2-4)}_{=v}+\underbrace{e^{-x}}_{=u}\cdot\underbrace{2x}_{=v'}f′(x)=[=ue−x⋅=v(x2−4)]′==u′e−x=a¨ußere⋅(−1)=innere⋅=v(x2−4)+=ue−x⋅=v′2xf′(x)=−e−x(x2−4)+e−x⋅2x=e−x(−(x2−4)+2x)=e−x(−x2+2x+4)\phantom{f'(x)}=-e^{-x}(x^2-4)+e^{-x}\cdot2x=e^{-x}\left(-(x^2-4)+2x\right)=e^{-x}(-x^2+2x+4)f′(x)=−e−x(x2−4)+e−x⋅2x=e−x(−(x2−4)+2x)=e−x(−x2+2x+4)
wie kommt das Minus-Zeichen in der doppel Klammer zustande also e^-x (-( ?
Das kommt aus der Kettenregel. Im Exponenten der e-Funktion steht eine Funktion, nennen wir sie mal g(x)=−xg(x)=-xg(x)=−x:e−x=eg(x)e^{-x}=e^{g(x)}e−x=eg(x)Beim Ableiten musst du zuerst die e-Funktion mit dem "Argument" g(x)g(x)g(x) ableiten. Anschließend musst du dies noch mit der Ableitung g′(x)g'(x)g′(x) der Funktion multiplizieren:[e−x]′=[eg(x)]′=eg(x)⏟=a¨ußere⋅g′(x)⏟=innere\left[e^{-x}\right]'=\left[e^{g(x)}\right]'=\underbrace{e^{g(x)}}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{g'(x)}_{=\text{innere}}[e−x]′=[eg(x)]′==a¨ußereeg(x)⋅=innereg′(x)Wenn du jetzt g(x)=−xg(x)=-xg(x)=−x und g′(x)=−1g'(x)=-1g′(x)=−1 einsetzt, erkennst du, dass die (−1)(-1)(−1) aus der inneren Ableitung kommt:[e−x]′=e−x⋅(−1)\left[e^{-x}\right]'=e^{-x}\cdot(-1)[e−x]′=e−x⋅(−1)
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